la serie de pregunta

Question

Demostrar que $f(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nz)}{2^n}$ es analítica en $A=\{z\in\mathbb{C}:|\text{Im}(z)|<\log(2)\}$

Traté de expansión de la $\sin(nz)$ en términos de $e^{inz}$ pero que no ayudan a mí a menos que yo estoy haciendo algo mal. Sé Wierstrass M de la Prueba viene a jugar.

Answer 1

El uso de $\sin nz=\frac{1}{2i}(e^{inz}-e^{-inz})$ obras. La constante es irrelevante para la convergencia.

Se ocupan de las dos exponenciales por separado. Deje $z=x+iy$. A continuación,$|e^{inz}|=e^{-ny}$, e $|e^{i((n+1)z}|=e^{-(n+1)y}$.

Por lo tanto, recordar la $2^n$ en el denominador, vemos que la norma de la relación de dos términos consecutivos es $\frac{e^{-y}}{2}$. Esta norma es $\lt 1$ precisamente si $e^{-y} \lt 2$, es decir, si $y\gt -\log 2$.

De la misma manera, para el término en $e^{-iz}$, la norma de la relación de dos términos consecutivos es $\lt 1$ precisamente si $y \lt \log 2$. Por lo tanto, por el Weierstrass $M$-prueba, hemos analiticidad si $-\log 2\lt y\lt \log 2$.

Answer 2

Tenemos $$ f(z)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{untes}-e^{-untes}}{2^n} =\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^\infty\left[\left(\frac{e^{iz}}{2}\right)^n-\left(\frac{e^{-iz}}{2}\right)^n\right] $$ Si $|e^{\pm iz}/2|=\frac{1}{2}e^{\mp\text{Im}(z)}<1$, es decir, $\mp\text{Im}(z)<\log2$ o $|\text{Im}(z)|<\log2$, entonces la serie converge y \begin{eqnarray} f(z)&=&\frac{1}{2i}\left[\frac{e^{iz}}{2}\frac{1}{1-e^{iz}/2}-\frac{e^{-iz}}{2}\frac{1}{1-e^{-iz}/2}\right]\cr &=&\frac{1}{2i}\left(\frac{e^{iz}}{2-e^{iz}}-\frac{e^{-iz}}{2-e^{-iz}}\right)\cr &=&\frac{2e^{iz}-1-2e^{-iz}+1}{2i(4-2e^{iz}-2e^{-iz}+1)}\cr &=&\frac{4i\sin z}{2i(5-4\cos z)}=\frac{2\sin z}{5-4\cos z}. \end{eqnarray} Esta función es, obviamente, analítica.

Answer 3

Fix $\epsilon>0$.

Si $|\Im(z)|<\log(2-\epsilon)$, luego $$|\sin(nz)|=\left |\frac{e^{inz}-e^{-inz}}{2i}\right |\leq\frac{1}{2}\left (|e^{inz}|+|e^{-inz}|\right )=\frac{1}{2}\left (e^{-n\Im(z)}+e^{n\Im(z)}\right )<(2-\epsilon)^n,$$

por lo que la serie converge uniformemente en $A_\epsilon=\{z\in\mathbb{C}:|\text{Im}(z)|<\log(2-\epsilon)\}$ por la M-test.

Puesto que el resultado de la diferenciación de la serie en la definición de $f$ término por término es $\sum_{n=1}^\infty\frac{n\sin(nz)}{2^n}$ que converge absolutamente en $A_\epsilon$, se deduce que la diferenciación término a término es legítimo y que $f$ es complejo diferenciable en a $A_\epsilon$.

Desde $\epsilon$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de que $f$ es complejo diferenciable en a $A$. En particular, $f$ es holomorphic y, por tanto, de la analítica en $A$.