¿Por qué está cerrado el gráfico de una función continua a un espacio Hausdorff?

Question

Digamos que tengo dos espacios topológicos dados por $(X, \mathscr {T}_X)$ y $(Y, \mathscr {T}_Y)$ donde $Y$ es Hausdorff. Además dicen que tengo una función $f:X \rightarrow Y$ y que sea continuo. Quiero mostrar que $Gr(f):=\{(x,f(x)) \mid x \in X\}$ es un subconjunto cerrado de $(X \times Y)$ .

Al responder a esta pregunta, ¿podría también proporcionar la "cadena de pensamiento" que le llevó a la solución. Soy consciente de que la continuidad de la función y el hecho de que $Y$ es lo que Hausdorff me proporciona en términos de definición. Sin embargo, me resulta difícil encontrar un vínculo para responder a la pregunta. Gracias a todos de antemano por su ayuda.

Answer 1

Dejemos que $G=\operatorname{Gr}(f)$ . En este caso, la forma más fácil de demostrar que $G$ está cerrado en $X\times Y$ es demostrar que su complemento es abierto, así que dejemos que $\langle x,y\rangle\in(X\times Y)\setminus G$ . Desde $\langle x,y\rangle\notin G$ , $y\ne f(x)$ . Así, $y$ y $f(x)$ son puntos distintos en $Y$ . Y $Y$ es Hausdorff, por lo que hay conjuntos abiertos disjuntos $U$ y $V$ en $Y$ tal que $y\in U$ y $f(x)\in V$ . Finalmente, $f$ es continua, por lo que existe un nbhd abierto $W$ de $x$ tal que $f[W]\subseteq V$ .

Hasta aquí sólo he hecho lo que me sale naturalmente: He utilizado las hipótesis de la manera más obvia sin pensar realmente hacia dónde voy. Intento demostrar que $\langle x,y\rangle$ tiene un nbhd abierto contenido en $(X\times Y)\setminus G$ ¿tengo un nbhd abierto de $\langle x,y\rangle$ colgando de cualquier sitio? Sí: por definición de la topología del producto, $W\times U$ es un nbhd abierto de $\langle x,y\rangle$ en $X\times Y$ . Si tengo suerte, este nbhd $W\times U$ resultará ser disjunta de $G$ , demostrando que $\langle x,y\rangle$ no está en el cierre de $G$ . Y como $\langle x,y\rangle$ era un punto arbitrario de $(X\times Y)\setminus G$ Esto demostraría que $(X\times Y)\setminus G$ es abierto y, por tanto, que $G$ está cerrado.

Dejemos que $\langle z,f(z)\rangle$ sea cualquier punto de $G$ . Si $z\notin W$ entonces claramente $\langle z,f(z)\rangle\notin W\times U$ . Si $z\in W$ entonces $f(z)\in V$ Así que $f(z)\notin U$ y por lo tanto $\langle z,f(z)\rangle\notin W\times U$ . Así, en todos los casos $\langle z,f(z)\rangle\notin W\times U$ y se deduce que $(W\times U)\cap G=\varnothing$ . Así, cada punto de $(X\times Y)\setminus G$ tiene un nbhd abierto disjunto de $G$ y $G$ está, por tanto, cerrado.

Answer 2

Si $W$ y $U$ están abiertas en $X$ y $Y$ respectivamente, entonces $W\times U$ puede no estar abierto en la topología del producto. El enfoque correcto para demostrar el resultado es considerar una red $S$ convergiendo a un punto $s$ en $X$ y como $f$ es continua. Así que $f*S$ converge a $f(s)$ . También aplicando un conjunto $A$ está cerrado en $X$ si no hay red en $A$ converge a un punto en $X-A$ .