Una función continua con una serie de Fourier divergente

Question

Esto es un Q&A; espero que simplemente publicar una pregunta y luego responderla sea el protocolo correcto. Esto es algo que creía que todo el mundo sabía, pero en al menos dos hilos recientes ha resultado ser algo misterioso. Así que..:

Q: ¿Cómo se demuestra que existe una función continua en el círculo cuya serie de Fourier diverge en el origen?

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Editar @TrialAndError señala que Stackexchange anima oficialmente a formular y responder a su propia pregunta .

Answer 1

Esta es una de las razones por las que el análisis funcional es algo útil: dar un ejemplo explícito no es fácil (hay uno en Zygmund, debido a Fejer), pero demostrar la existencia usando un poco de teoría del espacio de Banach es muy sencillo.

Necesitamos el siguiente caso especial del Principio de limitación uniforme , también conocido como el Teorema de Banach-Steinhaus:

Teorema (UBP, caso especial) Supongamos que $X$ es un espacio de Banach y $S\subset X^*$ . Si $\sup_{\Lambda\in S}||\Lambda||=\infty$ entonces existe $x\in X$ con $\sup_{\Lambda\in S}|\Lambda x|=\infty$ .

Ahora defina $\Lambda_n\in C(\Bbb T)^*$ diciendo $\Lambda_n f$ es el $n$ -ésima suma parcial de la serie de Fourier en el origen: $$\Lambda_n f=s_n(f,0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)D_n(t)\,dt,$$ donde $D_n$ es el núcleo de Dirichlet $$D_n(t)=\sum_{k=-n}^ne^{ikt}=\frac{\sin\left((n+\frac12)t\right)}{\sin\left(\frac12 t\right)}.$$ Supongamos que podemos demostrar dos cosas: $$||D_n||_1\to\infty\quad(n\to\infty)$$ y $$||\Lambda_n||_{C(\Bbb T)^*}=||D_n||_1.$$ Entonces UBP dice que existe $f\in C(\Bbb T)$ tal que $\Lambda_n f$ no tiene límites y ya está.

Demostrando que $||D_n||_1\to\infty$ es fácil: $$\int_0^\pi|D_n(t)|\,dt\ge2\int_0^\pi\frac{\left|\sin\left((n+\frac12)t\right)\right|}{t}\,dt=2\int_0^{(n+1/2)\pi}\frac{|\sin(t)|}{t}\,dt.$$

El hecho de que $||\Lambda_n||_{C(\Bbb T)^*}=||D_n||_1$ es inmediato a partir del Teorema de la Representación de Riesz, más el hecho de que la norma de un $L^1$ es la misma que su norma como medida compleja. También se puede ver directamente: Elegir $\phi_n\in C(\Bbb T)$ para que $|\phi_n|\le 1$ y tal que $\phi_n=1$ en la "mayoría" del conjunto donde $D_n>0$ mientras que $\phi_n=-1$ en la mayor parte del conjunto donde $D_n<0$ .