$\left(-\frac{1}{2}\right)! = \sqrt{\pi}?$

Question

Hace poco me enteré de que $\left(-\frac{1}{2}\right)! = \sqrt{\pi}$ pero no entiendo cómo eso tiene sentido. Por favor alguien puede explicar cómo es esto posible?

Gracias!

Answer 1

Con el fin de ampliar la función factorial de cualquier número real, se introduce la Función Gamma, que es un objeto extraño que se define como sigue:

$$ \Gamma(s)=\int_0^\infty t^{m-1}e^{-t} \, dt $$

La función gamma viene con la propiedad especial de que $n!=\Gamma(n+1)$ para los números naturales $n$, por lo que para evaluar $(-1/2)!$, (lo que de por sí no es técnicamente definido) podemos definir a ser $\Gamma(1/2)$ y, por tanto, evaluamos la integral

$$ (-1/2)!:=\Gamma(1/2)=\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \,dt $$ To evaluate this integral, we make the substitution $u=\sqrt{t}$, que se traduce en el bien conocido de la integral de Gauss:

$$ \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt=2\int_0^\infty \frac{e^{-u^2}}{u}u \, du=\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2} \, du=\sqrt{\pi} $$

Answer 2

No sé donde has visto esta notación. Una cosa que usted seguramente sabe de la llamada de la Función Gamma $\Gamma (z)$. Esta función es una función compleja, con una serie de propiedades. Una de sus propiedades es que si evaluados en $\mathbb{N}$ coincide con la función factorial, esto es, $\Gamma (n+1) = n! $ si $n\in \mathbb{N}$. También, uno puede encontrar que $\Gamma (1/2) = \sqrt{\pi}$. Así que tal vez mediante el uso de una notación yo no sé acerca de alguien podría escribir $(-1/2)!$ en lugar de $ \Gamma (1/2)$.

Answer 3

He publicado esta misma pregunta y una respuesta: ¿por Qué es $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$?

Lo que sigue es la respuesta que he publicado allí. Algunos otros también publicado buenas respuestas.

Si hay justicia en el universo, alguien debe haber pedido aquí cómo mostrar que $$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}. $$ Supongamos que ha sido respondida aquí. Vamos (capital) $X$ ser una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es $$ \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,dx. $$ Considere el problema de encontrar $\mathbb E(X^2)$. Es $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-x^2/2}\,dx = \text{(por simetría)} \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_0^\infty x^2 e^{-x^2/2}\,dx $$ $$ \sqrt{\frac2\pi}\int_0^\infty xe^{-x^2/2}\Big(x\,dx\Big) = \sqrt{\frac2\pi}\int_0^\infty \sqrt{u}\ e^{-u}\,du = \sqrt{\frac2\pi}\ \Gamma\left(\frac32\right) = \frac12\sqrt{\frac2\pi} \Gamma\left(\frac12\right). $$ Por lo que es suficiente para mostrar que este valor esperado es $1$. Eso es cierto si la suma de las dos copias independientes de tiene valor esperado $2$. Así: $$ \Pr\left(X^2+Y^2<w\right) = \frac{1}{2\pi}\iint\limits_\mathrm{disco} e^{- x^2+y^2)/2}\,dx\,dy $$ donde el disco tiene radio de $\sqrt{w}$. Esto es igual a $$ \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{w}} e^{-\rho^2/2} \,\rho\,d\rho\,d\theta = \int_0^{\sqrt{w}} e^{-\rho^2/2} \,\rho\,d\rho. $$ Esta última igualdad se sostiene porque estamos integrando con respecto a $\theta$ algo no dependiendo de la $\theta$. La diferenciación de este con respecto a $w$ da la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria $X^2+Y^2$: $$ e^{-w/2}\sqrt{w}\frac{1}{2\sqrt{w}} = \frac{e^{-w/2}}{2}\text{ para }w>0. $$ Así $$ \mathbb E(X^2+Y^2) = \int_0^\infty w \frac{e^{-w/2}}{2}\,dw =2. $$

Answer 4

factorial de los números negativos se $defined$ en términos de la función Gamma, es decir,$(x!) := \Gamma(x+1)\forall x\in\mathbb R$, a excepción de $x$ ser entero negativo. esto es porque los dos están de acuerdo en los enteros positivos, y así que esto es sólo una convención.