Cuña producto de una suma directa y el Yoneda Lema

Question

En un comentario a http://math.stackexchange.com/a/344851/58601Martin Brandeburgo sugiere que uno puede demostrar la existencia de la canónica de isomorfismo $\wedge^n(W_1 \oplus W_2) \to \bigoplus_{p+q=n} \wedge^p(W_1) \otimes \wedge^q(W_2)$ con el Yoneda Lema. Hay una referencia para esta técnica?

Estoy interesado en una más conceptual de la prueba del hecho de que el mapa es un isomorfismo de la "recoger " base" de la prueba.

Answer 1

Referente conceptual de la prueba, el truco es poner la suficiente estructura en ambos lados: Que no sólo son de ${\mathbb k}$-módulos, pero la homogeneidad de los componentes de la gradual conmutativa ${\mathbb Z}$-graduado ${\mathbb k}$-álgebras ${\bigwedge}^{\ast} (W_1\oplus W_2)$$({\bigwedge}^{\ast} W_1)\otimes_{\mathbb k} ({\bigwedge}^{\ast} W_2)$, respectivamente, donde durante dos gradual conmutativa ${\mathbb Z}$-graduado ${\mathbb k}$-álgebras $A$ $B$ $\otimes_{\mathbb k}$producto $A\otimes_{\mathbb k} B$ se define a través de $(A\otimes_{\mathbb k} B)^n := \bigoplus\limits_{p+q=n} A^p\otimes_{\mathbb k} B^q$ y la multiplicación $(a\otimes b)(a^{\prime}\otimes b^{\prime}) := (-1)^{|b|\cdot |a^{\prime}|} (aa^{\prime})\otimes (bb^{\prime})$ y constituye el subproducto de $A$ $B$ en la categoría de ${\mathbb Z}\text{-grcomm-alg}_{\mathbb k}$ clasificados conmutativa ${\mathbb Z}$-graduado ${\mathbb k}$-álgebras. El reclamo sigue a continuación, a partir de la observación de que la asignación de $V\mapsto{\bigwedge}^{\ast} V$ define a la izquierda-adjoint ${\mathbb k}\text{-Mod}\to{\mathbb Z}\text{-grcomm-alg}_{\mathbb k}$ a los desmemoriados functor ${\mathbb Z}\text{-grcomm-alg}_{\mathbb k}\to{\mathbb k}\text{-Mod}$ el envío de un ${\mathbb Z}$-clasificados, clasificados conmutativa ${\mathbb k}$-álgebra $A$ grado $1$ componente $A^1$. En particular, se conserva arbitraria colimits, y, en particular, co-productos.

El Yoneda-Lema está implícita aquí la prueba de que la izquierda adjoints preservar colimits.