Conjunto uniformemente convexo, conjuntos de nivel inferior

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sea una función convexa suave. Entonces, para cualquier constante $c>0$ , $f + c||x||^2$ es fuertemente convexo. ¿Cómo puedo demostrar que el conjunto $\{x \in \mathbb{R}^n : f(x) + c||x||^2 \leq 0\}$ el conjunto de nivel inferior de $0$ es uniformemente convexo. Por uniformemente convexo, quiero decir que la frontera tiene curvaturas principales que tienen un límite inferior uniforme positivo.

Estoy tratando de entender la aproximación de un dominio convexo por dominios lisos uniformemente convexos crecientes, como se plantea en otra pregunta .

Answer 1

Fijar $x_0$ . Desde $f$ es convexo, su gráfica está por encima del plano $z=f(x_0)+(x-x_0)\nabla f(x_0)$ al que es tangente. Por lo tanto, la gráfica de $g(x)=f(x)+\|x\|^2$ se encuentra por encima del paraboloide $z=f(x_0)+(x-x_0)\nabla f(x_0)+\|x\|^2$ a la que es tangente. Por lo tanto, la curvatura de cualquier sección normal de la gráfica de $g$ no es menor que la correspondiente curvatura del paraboloide.

Queda por comprobar que el paraboloide tiene curvatura positiva en todas partes. Una forma, directa pero posiblemente tediosa, es exponer una esfera tangente a él y que contenga un trozo de paraboloide en su interior. Otra forma es argumentar que las curvaturas extremas de un paraboloide, como superficie de revolución, se alcanzan en las secciones que están a lo largo del eje de rotación o perpendiculares a él. Véase Las principales curvaturas de una superficie de revolución .