¿Cómo probar $\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$?

Question

Hay un hilo similar aquí ¿Demostración libre de coordenadas de $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$?, pero solo estoy buscando una demostración simple de álgebra lineal.

Answer 1

Observa que si $A$ y $B$ son matrices $n \times n$, $A=(a_{ij})$, y $B=(b_{ij})$, entonces $$(AB)_{ii} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki},$$ por lo tanto $$ \operatorname{Tr}(AB) = \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n a_{jk}b_{kj}. $$ Concluye calculando el término $(BA)_{ii}$ y comparando ambas trazas.

Answer 2

Para cualquier par $(A,B)$ de matrices $n\times n$ con entradas complejas, se cumple la siguiente identidad: $$ \operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA).$$

Prueba. Suponiendo que $A$ es una matriz invertible, $AB$ y $BA$ comparten el mismo polinomio característico, ya que son matrices conjugadas debido a que $BA = A^{-1}(AB)A$. En particular, tienen la misma traza. De manera equivalente, comparten los mismos eigenvalores (contados según su multiplicidad algebraica) por lo tanto comparten la suma de dichos eigenvalores. Por otro lado, si $A$ es una matriz singular entonces $A_\varepsilon\stackrel{\text{def}}{=} A+\varepsilon I$ es una matriz invertible para cualquier $\varepsilon\neq 0$ suficientemente pequeño. Se sigue que $\operatorname{Tr}(A_\varepsilon B) = \operatorname{Tr}(B A_\varepsilon)$, y como $\operatorname{Tr}$ es un operador continuo, al considerar los límites de ambos lados cuando $\varepsilon\to 0$ obtenemos $\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$ de igual manera.

Answer 3

Si $A$ es una matriz de $m\times n$ y $B$ una matriz de $n\times m$ tenemos

\begin{eqnarray} \operatorname{tr}(AB) &=&\sum_{i=1}^m(AB)_{ii}\cr &=&\sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{ki}\cr &=&\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^mB_{ki}A_{ik}\cr &=&\sum_{k=1}^n(BA)_{kk}\cr &=&\operatorname{tr}(BA). \end{eqnarray}

Answer 4

La respuesta eficiente @hjhjhj57:

$$\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)= \sum a_{ij} b_{ji}$$

Ahora podemos empezar a entender por qué si hacemos una permutación circular de los factores, la expresión

$$\text{Tr}( A_1 A_2 \ldots A_m)$$

no cambia, y cuál es la expresión.

Supongamos ahora que $A$,$B$ son matrices cuadradas. Entonces ciertamente $\det(AB) = \det(BA)$, usando la propiedad multiplicativa del $\det$.

De hecho, las matrices $AB$ y $BA$ tienen el mismo polinomio característico, por lo que en particular la misma traza y el mismo determinante.