Mentira Álgebra para fermión campos

Question

Una clave de identidad (por ejemplo, al derivar BRST de la simetría para medidor de campos) es que:

$$[c,d]_a =f_{abc}c_b d_c$$

donde $c$ $d$ son tanto Fermión Campos.

¿Cómo puedo obtener esa de la mentira de álgebra de expansión $[t_a,t_b] = f_{abc}t_c$ ?

Parece obvio para Bosón de los campos...

es decir, $[X,Y] = [X_a t_a, Y_b t_b] = X_a t_a Y_b t_b -Y_b t_b X_a t_a = X_a Y_b [t_a, t_b] = X_a Y_b f_{abc} t_c$

como $X_a$ $Y_b$ conmuta con cada uno de los otros. Pero para fermión campos pensé que $c_a$ $d_b$ anticommute por lo que seguramente el equivalente de cálculo llevaría a $[c,d]=c_a d_b\{t_a, t_b\}$ que no es igual a $f_{abc}c_b d_c t_a$.

Yo estaría muy agradecido por la respuesta, soy un jubilado de la persona que está tratando de enseñarme la Teoría del Campo Cuántico sólo de libros y de internet - y esto es muy confuso para mí.

Muchas gracias de antemano

Alan

Answer 1

Cuando se trata de las teorías que contiene tanto los desplazamientos y anti-desplazamientos (pares e impares) variables, los físicos a menudo el uso de la notación de corchetes para indicar tanto los conmutadores y anti-conmutadores de acuerdo a la siguiente regla:

Los soportes de los conmutadores a menos que ambas variables son impares, en este caso son anti-conmutadores, por favor consulte la nota al pie no. 3 en Mañes Stora y Zumino: Algebraicas estudio de quirales anomalías . Así, en el ejemplo: $$[c, d] = c^a t_a d^b t_b + d^b t_b c^a t_a = c^a d^b (t_a t_b - t_b t_a ) = f_{ab}^c c^a d^b t_c$$