Hace del conocimiento de todos los geodesics de un colector de Riemann basta para determinar la métrica hasta un factor de escala?
La métrica completamente caracteriza la forma de un colector de Riemann. Sin embargo, el conocimiento de todos los geodesics en un colector de Riemann no únicamente determinan la métrica.
Este problema es un caso de la obtención de propiedades locales de los mundiales. La métrica es un local de cantidad, depende solamente en el punto elegido de la múltiple y un local del barrio alrededor de ella. Geodesics, por otro lado, los puntos de conexión en el colector, un llamamiento a una mayor estructura global del colector.
Hay una gran variedad de teoremas relativos a la relación entre lo local y lo global propiedades en la geometría de Riemann, un prolífico ejemplo de los cuales es el de Hopf-Rinow teorema. Esto nos dice que un colector de Riemann es un espacio métrico completo si y sólo si es geodesically completa, es decir, si en cualquier momento usted puede extender de una geodésica infinitamente lejos en cualquier dirección, la métrica de un espacio es tal que el colector es completa. Podemos deducir algunas propiedades interesantes como este, pero no podemos determinar completamente la métrica de la información acerca de la geodesics.
Por tanto, no podemos determinar completamente la métrica de la información acerca de la geodesics, pero podemos determinar la métrica hasta un factor de escala de la geodesics?
