uso linealmente independencia probar

Question

Deje $A\in{\mathbb{R}^{m\times n}}$. Supongamos $x_{1},\ldots,x_{k}$ son vectores en ${\mathbb{R}^{n}}$ y {${Ax_{1},\ldots,Ax_{k}}$} es un conjunto linealmente independiente. este problema tiene tres problemas.
(a)Probar que{$x_{1},\ldots,x_{k}$} es linealmente independiente del conjunto.
(b)Probar que {$A^{T}Ax_{1},\ldots,A^{T}Ax_{k}$} es también linealy conjunto independiente.
(c) Use la parte (b) para mostrar que $rank(A^{T})\ge rank(A)$.
He terminado (a) y (b), pero no sé cómo utilizar la parte(b) para mostrar el $rank(A^{T})\ge rank(A)$.

Answer 1

Usted está casi allí.

Nota: Para cualquier matriz $B$ si $\{B x_i\}_{i=1}^k$ son linealmente independientes, entonces $\operatorname{rk} B \ge k$.

Usted ha demostrado que, si $\{A x_i\}_{i=1}^k$ son linealmente independientes, entonces también lo son la $\{A^TA x_i\}_{i=1}^k$, o podemos escribir esto más claramente como $\{A^T v_i\}_{i=1}^k$,$v_i = A x_i$. Por lo tanto $\operatorname{rk} (A^T) \ge k$.

Si $k=\operatorname{rk} A $, entonces podemos encontrar $x_1,...,x_k$ tal que $\{A x_i\}_{i=1}^k$ son linealmente independientes (por la definición de rango).

En particular, el de arriba muestra que el $\operatorname{rk} A^T\ge k$, que es el resultado deseado (es decir, $\operatorname{rk} A^T\ge \operatorname{rk} A $).

Como un aparte, ya que $(A^T)^T = A$, por encima de la realidad muestra que las dos filas son iguales.

Answer 2

Bien, $rank(M)\overset{def}=\max\{k\,:\,\exists x_1,..,x_k:(Mx_1,\dots,Mx_k)$ son linealmente independientes,$\}$.

Así que, por (b) tenemos $rank(A^T)\ge k$. Y podemos elegir el $k:=rank(A)$.