Calcular el límite de uso de la Regla de L'Hospital -> $ \lim_{x \to 0} \left ( 1 + \frac{1}{x^2} \right )^{x^2} $

Question

He estado tratando de resolver el siguiente problema, pero me parece que tiene algunas dificultades.

$$ \lim_{x \to 0} \left ( 1 + \frac{1}{x^2} \right )^{x^2} $$

Me trató de resolver, y la respuesta que obtuve no parece estar en lo cierto, así que traté de parcela para tener una idea, y he llegado a la conclusión de que estaba equivocado.

Esto es lo que yo hice en mi segundo intento:

$$ \lim_{x \to 0} \left ( 1 + \frac{1}{x^2} \right )^{x^2} = \lim_{x \to 0} \left ( \frac{x^2 + 1}{x^2} \right )^{x^2} = \left [ \left ( \frac{(0)^2 + 1}{(0)^2} \right )^{(0)^2} \right ] = \left [ \infty ^0 \right ] \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \lim_{x \to 0} e^{x^2 \ln \left ( \frac{x^2 + 1}{x^2} \right )} = e^{ \lim_{x \to 0} x^2 \ln \left ( \frac{x^2 + 1}{x^2} \right )} $$

Luego, para hacer los cálculos más fácil: $$ \lim_{x \to 0} x^2 \ln \left ( \frac{x^2 + 1}{x^2} \right ) = \left [ (0)^2 \ln \left ( \frac{(0)^2 + 1}{(0)^2} \right ) \right ] = \left [ 0 \cdot \ln \left ( \frac{ 1}{0} \right ) \right ] $$

¿Cómo puedo proced ahora? Quiero decir, ¿Cómo puedo solucionar $ \left [ 0 \cdot \ln \left ( \frac{ 1}{0} \right ) \right ] $? No hay señal en el 0. Si se $ 0^{+} $, me gustaría saber que habría aproximado a $ -\infty $.

Me pueden ayudar por favor?

No pretendo tener la solución para el límite, pero alguna ayuda para resolver este problema.

Gracias de antemano, Saclyr.

Answer 1

SUGERENCIA: Sustituya $n=x^2$ a continuación, se vuelve a$$\Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)^n=\dfrac{(n+1)^n}{n^n}.$$ Also $x\to 0$ is equivalent to $n\to 0^+.$

Answer 2

$$\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x^2}=\exp\left(x^2\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\right)$$

$$x^2\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x^2}}$$

por lo tanto $$\lim_{x\to 0}x^2\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x^2}}$$

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{u\to\infty }\frac{\ln(1+u^2)}{u^2}\underset{Hop.}{=}\lim_{u\to\infty }\frac{2u}{(1+u^2)2u}=\lim_{u\to\infty }\frac{1}{1+u^2}=0$$

y

$$\lim_{x\to 0^-}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{u\to-\infty }\frac{\ln(1+u^2)}{u^2}\underset{Hop.}{=}\lim_{u\to-\infty }\frac{2u}{(1+u^2)2u}=\lim_{u\to-\infty }\frac{1}{1+u^2}=0$$

y así,

$$\lim_{x\to 0}x^2\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=0.$$

Por otra parte, $x\mapsto e^x$ es continua en a $x=0$, por lo tanto $$\lim_{x\to 0}\exp\left(x^2\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\right)=\exp\left(\lim_{x\to 0}x^2\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\right)=e^0=1.$$

Answer 3

volver a escribir en la forma $$e^{\lim_{x \to 0}\frac{\ln\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x^2}}}$$