Hallar el coeficiente de $ x^{2017}$ en la expansión de $(x +1+\frac{1}{x})(x^3 + 1 + \frac{1}{x^3})...(x^{2187} + 1 + \frac{1}{x^{2187}})$

Question

Me doy cuenta de que $3^7=2187$ y esto implica que hay 8 en términos de producto. La presencia de $x^3$ y sus poderes se da un ligero posible indicio de que $\omega$ podría hacer algún truco. Pero no veo cómo.Otras cosas que yo pensaba que era a ${2017}$ hojas de resto 1 al dividirlo por 3, así que tal vez la búsqueda de coeficiente de $x$,$x^4$ pueden ayudar. y que multiplica los dos primeros términos para ver que todas las potencias de x se produjo. Estoy pensando en muchas ideas pero ninguno de ellos es resolver el problema,también parece que la respuesta tal vez 1.Probablemente la única razón por la que podemos encontrar el coeficiente de $x^{2017}$ porque este año es el año 2017.No puedo resolverlo directamente por la observación.

Por favor, sugiera algún método y ver a dónde me falta.

Answer 1

Sugerencia:- Multiplicar la expresión por $(x-1)$, obtendrá $$(x-1)f(x) = \frac{(x^3-1)}{x}(x^3 + 1 + \frac{1}{x^3})..... = \frac{(x^9-1)}{x^.x^3}(x^9 + 1 + \frac{1}{x^9})....$$

Answer 2

Un buen ejemplo de la antena telescópica de productos. Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ en una serie.

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{[x^{2017}]\prod_{j=0}^7\left(\frac{1}{x^{3^j}}+1+x^{3^j}\right)} &=[x^{2017}]\prod_{j=0}^7\frac{1+x^{3^j}+\left(x^{3^j}\right)^2}{x^{3^j}}\\ &=[x^{2017}]\prod_{j=0}^7\frac{1-x^{3^{j+1}}}{x^{3^j}\left(1-x^{3^j}\right)}\tag{1}\\ &=[x^{2017}]\frac{1}{x^{\sum_{j=0}^{7}3^j}}\prod_{j=0}^7\frac{1}{1-x^{3^j}}\prod_{j=1}^8\left(1-x^{3^j}\right)\tag{2}\\ &=[x^{2017}]x^{-\frac{1}{2}\left(3^8-1\right)}\frac{1-x^{3^8}}{1-x}\tag{3}\\ &=[x^{5297}]\sum_{j=0}^{3^8}x^j\tag{4}\\ &\color{blue}{=1} \end{align*}

Comentario:

• En (1) se utiliza la de $(1+y+y^2)(1-y)=1-y^3$$y=x^{3^j}$.

• En (2) nos factor $\prod_{j=0}^7x^{3^j}$, separada del numerador y el denominador y el cambio en el índice de la derecha del producto por uno para ver mejor la antena telescópica de la propiedad.

• En (3) aplicamos la serie geométrica finita fórmula y cancelar los términos gracias a telescópica.

• En (4) se nos tenga en cuenta que $\frac{1}{2}\left(3^8-1\right)=3280$ y aplicar la regla de $[x^p]x^{-q}A(x)=[x^{p+q}]A(x)$. También expandimos el geométrica de alimentación de la serie y ver finalmente el coeficiente de $x^{5297}$ es igual a $1$.

Answer 3

Otra forma de pensar es

$$ P = \frac{1}{x.x^3...x^{2187}}\frac{x^3-1}{x-1}.\frac{x^9-1}{x^3-1}.... \frac{x^{6561}-1}{x^{2187}-1}$$

Después de la misa de cancelación, usted consigue $$P= \frac{1}{x^{3280}}.\frac{x^{6561}-1}{x-1}$$

El primer término de la primera expresión es un GP $= 1+3+9+27\cdots 2187 = 3280$

A continuación, $$P = \frac{1}{x^{3280}}.(1+x+x^2+...x^{5297}+\cdots +x^{6560})$$

Por lo tanto el $5297-3280 = 2017$ potencia de x se tiene $\boxed{1}$ como su coeficiente.