Conclusión acerca de cardinalty.

Question

Asumir que:
$$\left| T \right| > {\aleph _0}$$

¿Por qué no puede uno asumir de inmediato que:
$$\left| T \right| \cdot \left| T \right| > \left| T \right| \cdot {\aleph _0}$$

Answer 1

Porque suponiendo que el axioma de elección, si $T$ es infinito,$|T\times T|=|T|\cdot|T|=|T|$.

Answer 2

El más simple contraejemplo: tenemos $2\gt 1$, pero $|2\cdot\aleph_0|\not\gt |1\cdot\aleph_0|$. La principal razón detrás de esto es que las habituales pruebas de que $a\gt b\implies ac\gt bc$ $a, b, c\in\mathbb{N}$ el uso de la finitud de $a, b, c$ en un imprescindible de la moda: se supone que un número entero no se puede poner en correspondencia 1-1 con cualquiera de su propia subconjuntos (esto es lo '$\gt$' denota, después de todo). Esta suposición se rompe cuando vamos a salir de la finitos reino; de hecho, es una de las definiciones de la infinitud.

Answer 3

Infinito cardenales $\kappa, \lambda$, tenemos: $$ \kappa \times \lambda = \max(\kappa \lambda) \text{ y, por lo tanto } \\ \kappa \times \kappa = \kappa \text{ para $\kappa$ infinito} $$

En este caso, $|T|\cdot |T| = |T|$. También, $|T|\cdot \aleph_0 = \max(|T|,\aleph_0) = |T|$. Así, en particular, $|T|\cdot |T| \not > |T|\cdot \aleph_0$,
$|T|\cdot |T| = |T|\cdot \aleph_0$,

Answer 4

Todo lo que sigue es que el $\left| T \right| \cdot \left| T \right| \ge \left| T \right| \cdot {\aleph _0}$. Por ejemplo, si $|T| = 2^{\aleph_0}$$\left| T \right| \cdot \left| T \right| = \left| T \right| \cdot {\aleph _0}$.