¿Cuál es la solución de la ecuación $xyp^2 + (3x^2 - 2y^2)p - 6xy=0$ , donde $p = \frac{dx}{dy}$

Question

¿Cuál es la solución de la ecuación $xyp^2 + (3x^2 - 2y^2)p - 6xy=0$ , donde $p = \frac{dx}{dy}$

Intentaba resolverlo dividiendo toda la ecuación por $xy$ y luego integrarlo

$\frac{dy}{dx}[\frac{dy}{dx} + (\frac{3x}{y} - \frac{2y}{x})] = 6$ pero aún así esta ecuación no es separable.

Por favor, dígame cómo solucionarlo.

Answer 1

Para $xy\ne0$ , utilizando Vieta $$p^2+\left(\frac{3x}y-\frac{2y}x\right)p+6=0,$$

factores como

$$\left(p-\frac{3x}y\right)\left(p-\frac{2y}x\right)=0$$

que es fácil.

$y=0$ también es una solución.

Answer 2

Utilizando la fórmula cuadrática, tenemos $$p=\frac{2y^2 - 3x^2\pm\sqrt{(3x^2-2y^2)^2+24x^2y^2}}{2xy}$$ $$=\frac{2y^2 - 3x^2\pm(3x^2+2y^2)}{2xy}. $$

Eso es: $$\frac{dy}{dx}=p=\frac{2y}{x} \text{ or } \frac{-3x}{y}. $$ En ambos casos, podemos resolver fácilmente la EDO.

Answer 3

Dejemos que $y=\sqrt z$ lo que hace que la ecuación sea $$\left(z'+6 x\right) \left(x z'-4 z\right)=0$$