Pete excelentes notas correctamente explicó que no hay ningún conjunto que contiene los conjuntos de unboundedly de gran tamaño en el infinito cardinalidades, porque a partir de cualquier propuesta de dicha familia, se puede producir un conjunto de estrictamente tamaño más grande que cualquiera en esa familia.
Esta observación por sí mismo, sin embargo, en realidad no prueban que hay una cantidad no numerable de los infinitos. Por ejemplo, Pete argumento puede ser llevado a cabo en la clásica teoría de Zermelo (conocido como Z, o ZC, si se agrega el axioma de elección), pero para demostrar que hay una cantidad no numerable de infinitos requiere el axioma de Reemplazo. En particular, es realmente coherentes con ZC que sólo hay countably muchos infinitos, aunque esto no es consistente con ZFC, y este hecho fue la razón histórica para el cambio de ZC para ZFC.
La forma en que sucedió fue esto. Zermelo había producido conjuntos de tamaño $\aleph_0$, $\aleph_1,\ldots,\aleph_n,\ldots$ para cada número natural $n$, y quería decir que, por tanto, se había producido una serie de $\aleph_\omega=\text{sup}_n\aleph_n$. Fraenkel objetado que ninguno de los axiomas de Zermelo en realidad se aseguró de que $\{\aleph_n\mid n\in\omega\}$ forma un conjunto, y de hecho, ahora se sabe que en el menos Zermelo universo, esta clase no se forma de un conjunto, y de hecho hay sólo countably muchos infinito cardinalidades en ese universo; ellos no pueden ser reunidas en un solo conjunto y así evitar contradecir Pete observación. Uno puede ver algo como esto considerando el universo $V_{\omega+\omega}$, un rango segmento inicial de la jerarquía de von Neumann, que satisface todos los axiomas de Zermelo pero no ZFC, y en el que no tiene el tamaño de $\beth_\omega$.
Al añadir el axioma de Reemplazo, sin embargo, los axiomas de Zermelo se extiende a los axiomas de ZFC, a partir de la cual se puede probar que $\{\aleph_n\mid n\in\omega\}$ hace, de hecho, forman un conjunto, como queremos, y todo funciona de maravilla. En particular, en ZFC usando el axioma de Reemplazo en la forma de la recursión transfinita, hay gran multitud de conjuntos de diferentes infinito cardinalidades.
La infinitos $\aleph_\alpha$, por ejemplo, se puede definir por recursión transfinita:
- $\aleph_0$ es el primer cardinalidad infinita, o $\omega$.
- $\aleph_{\alpha+1}$ es el siguiente (ordenada) el cardenal después de $\aleph_\alpha$. (Esto existe por Hartog del teorema.)
- $\aleph_\lambda$, para limitar los ordinales $\lambda$, es el supremum de la $\aleph_\beta$$\beta\lt\lambda$.
Ahora, para cualquier ordinal $\beta$, la $\{\aleph_\alpha\mid\alpha\lt\beta\}$ existe por el axioma de Reemplazo, y este es un conjunto que contiene a $\beta$ muchos infinito cardenales. En particular, para cualquier cardenal $\beta$, incluyendo multitud de cardenales, hay, al menos, $\beta$ muchos infinito cardenales, y, de hecho, estrictamente más.
El cardenal $\aleph_{\omega_1}$ es el más pequeño cardenal tener una cantidad no numerable de infinito cardenales debajo de ella.
