¿Por qué podemos demostrar matemáticamente que no existe una fórmula para resolver un polinomio de orden (n+5)?

Question

Entiendo que la ecuación cuadrática puede resolver cualquier polinomio de segundo orden. Además, existen ecuaciones para polinomios de hasta cuarto orden. Sin embargo, sin un título de posgrado y un profundo conocimiento de las matemáticas, ¿hay una explicación de cómo podemos demostrar que las ecuaciones para las soluciones de quinto orden y superiores no existen?

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí una intuición muy vaga de por qué tal prueba podría ser posible.

Muchas personas se sorprenden cuando escuchan que la quíntica general no puede resolverse. "¿Qué significa eso?", dicen. "Que mucha gente lo haya intentado y haya fracasado no significa que sea imposible. El vuelo era imposible hasta que los hermanos Wright despegaron en Kitty Hawk...", etc. etc. Pero cuando hablamos de resolver el quintento, no estamos hablando como una tarea hercúlea que sólo un genio puede realizar. Estamos hablando de algo que, como resulta, no está permitido según las reglas del juego del álgebra.

Una forma de demostrar que una determinada tarea es imposible es encontrar algo que permanezca igual cuando se realiza cualquiera de los posibles "movimientos" permitidos. Por ejemplo, supongamos que estás enseñando a alguien las reglas de las damas, jugáis un par de partidas y luego señalas que una pieza en una casilla negra nunca puede encontrar el camino hacia una casilla blanca. "¡¿Qué?!", brama tu amigo. "¡No veo por qué no! La huida era imposible hasta que...", etc. Pero todo lo que tiene que hacer para demostrar este simple hecho es observar que, en un momento dado, ninguna de las reglas le permite pasar del negro al blanco.

En el juego de álgebra, te dan un polinomio $p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4+fx^5$ y se le permite manipular los símbolos $a,b,c,d,e,f$ y números $1,2, \ldots$ de varias maneras. Por ejemplo, puede añadir $a$ y $b$ para conseguir $a+b$ ; puedes multiplicar, dividir, etc. Esto te da lo que los matemáticos llaman un campo.

También se puede utilizar el símbolo $\sqrt{}$ para tomar raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc. Esto le permite hacer expresiones de aspecto complicado como $$\sqrt[8]{\frac{a + b \sqrt{d +e^3}}{e-\sqrt[4]{5}}}.$$ Pero para ello hay que ampliar el campo. A esto se le llama ampliación del campo. Resulta que hay una cierta propiedad que es siempre la misma cuando haces el campo más grande tomando raíces. Es un poco complicado explicar qué - para eso debes aprender la teoría de Galois. Pero es un poco como la forma en que un inspector no puede cambiar de color.

Resulta que para ciertos polinomios $p(x)$ se puede demostrar que cualquier campo que contenga cualquier raíz de $p(x)$ no lo hace tienen esa propiedad. Eso significa que puedes pasarte todo el día jugando con las raíces, etc., y nunca resolverás la quíntica general. Un matemático inteligente como Évariste Galois puede ver todo el juego de una vez y se da cuenta de que su tarea no es posible.

Answer 2

Una prueba común es la siguiente:

Se puede demostrar que, a lo largo de un campo de característica 0 (como los racionales, los reales o los números complejos) existe una fórmula para las raíces de un polinomio $p(x)$ en términos de radicales (raíz cuadrada, raíz cúbica, etc.) si y sólo si la Grupo de Galois de su campo de división (la extensión de campo en la que $p(x)$ puede expresarse como un producto de factores lineales) sobre el campo base es solucionable . La condición de solvencia significa, intuitivamente, que el grupo puede descomponerse sucesivamente en una serie de grupos más pequeños de forma sistemática, lo que conduce finalmente a un grupo con un elemento, y cada término de esta serie corresponde a tomar la $n$ raíz de algún elemento en una secuencia de campos sucesivamente más grandes que conducen al campo de división.

Si existiera una fórmula radical general para la resolución de ecuaciones de quinto grado, entonces para una algebraicamente independiente elementos trascendentales (lo contrario de elementos algebraicos lo que significa que no son las soluciones de ninguna ecuación polinómica sobre el campo base) $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ el campo de división del polinomio $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ debe tener un grupo de Galois soluble.

Sin embargo, el grupo de Galois de este polinomio es $S_5$ El grupo simétrico en cinco letras, que no es un grupo soluble. Por lo tanto, no existen fórmulas radicales para las ecuaciones generales de quinto grado y, por lo tanto, tampoco para las ecuaciones de grado superior.

Sin embargo, esto no significa que no sea posible resolver cualquier ecuaciones polinómicas de grado superior. Existen polinomios de mayor grado que tienen grupos de Galois resolubles, por lo que sus raíces se pueden expresar con radicales. Sólo que no hay una fórmula general que funcione para todo ecuaciones de un grado determinado mayor o igual a 5. También hay polinomios específicos con coeficientes enteros cuyos campos de división no tienen grupos de Galois solubles.

Answer 3

Creo que estás pidiendo que alguien argumente por qué esto es plausible Así que no voy a demostrar el resultado; eso se puede encontrar en la web y en los libros. En su lugar, intentaré que parezca "posible en teoría" hacer lo que se hizo. Y no utilizaré ninguna palabra por encima del nivel GCSE.

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En primer lugar, algunos antecedentes. Esta afirmación general ("ni siquiera es lógicamente posible hacer X") procede de un nuevo estilo de pensamiento abstracto y también creativo. Se ha dicho que moderno Las matemáticas comienzan con Galois, si no en el sentido de un mayor rigor, al menos Galois demostró la promesa del pensamiento general y la invención de nuevos conceptos. Su invención de la teoría abstracta de grupos no demostró un hecho nuevo; el teorema de Abel-Ruffini tenía décadas de antigüedad cuando escribió sus memorias. En cambio, la teoría abstracta de grupos hizo que todo el tema de $N$ polinomios de orden, tienen mucho más sentido para cualquiera que lo haya entendido.

Además, la teoría de Galois combina números, álgebra (manipulación de símbolos) y, en cierto sentido, geometría (imágenes mentales). El trabajo transversal se valora en las matemáticas modernas desde entonces.

Entonces, ¿cómo se puede demostrar que no todas las quintas pueden ser resueltas con un universal $+, -, \times, \div, \sqrt{}$ ¿fórmula?

• Jugando con los polinomios en los años 1700-1800, la gente se dio cuenta de algunas cosas. Primero se dieron cuenta de que los radicales reducen la simetría. $\sqrt{\bullet}$ reduce su simetría en $\div 2$ ; $\sqrt[3]{\bullet}$ reduce su simetría en $\div 3$ y así sucesivamente.

• También se estudió cuándo las ecuaciones polinómicas son resolubles en general. En particular, estudiaron cómo la reducción de la simetría afecta a la resolubilidad. Demostraron que para que un polinomio con coeficientes $a,b,c,d,e,f,g$ para ser soluble por radicales, la simetría de las letras $a,b,c,d,e,f,g$ debe actuar de cierta manera.**

Entonces demostraron que las letras $a,b,c,d,e$ hacer no actuar de la manera requerida. Si

1. su simetría no es así, y
2. su simetría tendría que ser así para que $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+e=0$ sea solucionable por radicales, entonces
3. $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+e=0$ no puede ser solucionado por los radicales.

Así que para repasar: la gente se fijó en las propiedades de simetría de las cosas, y en las propiedades de solvencia de las cosas. Relacionaron la solvencia con la simetría. Entonces demostraron algo sobre la simetría. Eso les dio un hecho sobre la solvencia.

HTH

* _{Que una verdad sea inverosímil sólo la hace más interesante. Me gusta esta cita (que creo que se debe a Andrei Kolmogorov): "Las matemáticas se encuentran en la frontera entre lo obvio y lo imposible".}

** _{La simetría particular que deben mostrar, y la relación entre las soluciones y la simetría, y la teoría de las simetrías en general, es lo que requiere la educación que has dicho que no quieres necesitar para entender esta respuesta.}

Answer 4

En un momento dado tuve la idea de que si no había una sola fórmula quizás había una variedad de fórmulas de las que se podía elegir; incluso el infinito de un infinito.

La clase a la que asistí lo explicó con mucho cuidado.
En primer lugar, partía de una regla y un compás y calculaba el dominio de los cálculos que se podían hacer con ellos; luego mostraba que la trisección del ángulo no estaba en ese dominio. A continuación, el libro pasó a construir el dominio de las soluciones radicales y demostró que no incluía ciertas raíces de polinomios de quinto orden.

Ahora sí que hay soluciones; pero la cuestión es que ni siquiera están en el ámbito de los algoritmos radicales. Ninguna colección de fórmulas funciona porque ninguna de ellas puede llegar a esas raíces.
Y como se ha mencionado anteriormente, Galois mostró claramente qué fórmulas podían resolverse y cuáles no.

Es como expresar pi como un número racional; puede que te acerques, pero nunca vas a conseguirlo para un racional finito.