Matriz de la ecuación simétrica y positiva definida matrices

Question

Vamos a matrices de $P_0$ $P_1$ ser simétrica y positiva definida.

Es posible encontrar una matriz simétrica $S$ tal que $SP_0S=P_1$?

Si $P_0=I$, esto es siempre posible: $S=\sqrt{P_1}$.

Answer 1

Esto es bastante sorprendente! En general, yo sugeriría que se abstengan de hacer conjeturas basadas en el hecho de que la declaración se sostiene para la matriz de identidad. Usted puede utilizar algunas de las muy fuertes propiedades ocultas de la matriz de identidad (por ejemplo, los viajes con todo) cuando se compruebe el resultado.

Sin embargo, en este caso en particular, usted en el clavo!

Solución: $S:= P_0^{-1/2}(P_0^{1/2}P_1P_0^{1/2})^{1/2}P_0^{-1/2}$.

Primero de todo, los productos de la forma $ABA$ $A,B$ simétrica, también son simétricas. Por lo $S$ es simétrica.

Por otra parte, $SP_0S = P_0^{-1/2}(P_0^{1/2}P_1P_0^{1/2})^{1/2}P_0^{-1/2} P_0 P_0^{-1/2}(P_0^{1/2}P_1P_0^{1/2})^{1/2}P_0^{-1/2} = P_0^{-1/2}(P_0^{1/2}P_1P_0^{1/2})^{1/2}(P_0^{1/2}P_1P_0^{1/2})^{1/2}P_0^{-1/2} = P_0^{-1/2}P_0^{1/2}P_1P_0^{1/2}P_0^{-1/2} = P_1$