Resolver esta ecuación $\cos{\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3r}\right)}=\sqrt{\frac{11}{r^2}-2}$

Question

Deje $r>0$, resolver esta ecuación $$\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3r}\right)}=\sqrt{\dfrac{11}{r^2}-2}$$

He encontrado que $r=2$ es una solución, como $$LHS=\cos{\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ y $$RHS=\sqrt{\dfrac{11}{4}-2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},$$ por lo $r=2$ es una raíz.

Cómo pueden otras soluciones?

Answer 1

Si usted considera que la función de$$f(r)=\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3r}\right)}-\sqrt{\dfrac{11}{r^2}-2}$$ its domain is restrited to $-\sqrt{\frac{11}{2}} \leq r \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$.

Si usted hizo lo que @John Barber comentó, usted debe haber notado que la negativa de la solución está cerca, a la izquierda obligado, donde el valor de la función es $\approx 0.077$; esto significa que la raíz está muy cerca del límite (justo arriba).

Por lo tanto, vamos a$r=t-\sqrt{\frac{11}{2}} $ y ampliar la función de un muy truncada de la serie en torno a $t=0$; esto debería dar $$f(t)=\cos \left(\frac{11+\sqrt{22}}{33} \pi \right)-2 \sqrt[4]{\frac{2}{11}} \sqrt{t}+O\left(t\right)$$ Ignorar los términos de orden superior, a continuación, $$t\sim \frac{1}{4} \sqrt{\frac{11}{2}} \cos ^2\left(\frac{11+\sqrt{22}}{33} \pi \right)\aprox 0.00347582\implica r\aprox -2.34173$$ while the exact solution is $-2.34180$.

Mediante la expansión a $O\left(t^{3/2}\right)$ y la solución de la ecuación cuadrática en $\sqrt t$ daría $t\approx 0.00341749$ lo que implica $r\approx -2.34179$.

Que debo precisa de aquí que, utilizando el método de Newton sin ningún paso de control de tamaño, nos enfrentamos al problema grave ya que, al menos por un tiempo, muchos ieterates son números complejos.