Ambos conceptos son distintos en la teoría de la medida. Sin embargo, al salir de la teoría de la medida, los dos términos se utilizan a menudo indistintamente. Para la mayoría de los pronosticadores, especialmente los profesionales de la previsión, ambos se refieren a funciones de errores de previsión, por ejemplo, MBE, MAE o RMSE.
Espero que alguien pueda explicarme con más detalle los posibles daños y trampas cuando se confunden ambos términos.
Una medida $\mu$ en un conjunto $X$ es una correspondencia $\mu:\mathcal{A}\rightarrow[0,\infty]$ definido en un $\sigma$ -álgebra $\mathcal{A}$ que satisface no negatividad, conjunto vacío nulo y $\sigma$ -aditividad, es decir $\mu(A) \ge 0 \,\, \forall \,\, A \in \mathcal{A}$ , $\mu( \emptyset)=0$ y $\mu( \sqcup_{j \in \mathbb{N}} A_j) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mu(A_j)$ donde símbolo $\sqcup$ denota unión disjunta. Por otro lado, una métrica es una medida de distancia $d:X\times X \rightarrow [0,\infty]$ que satisface la definición, la simetría y la desigualdad triangular, es decir $d(x,y) = 0$ si $x = y$ , $d(x,y) = d(y,x)$ y $d(x,y)\le d(x,z) + d(z,y)$ , $\forall$ $x,y,z\in X$ .
No sé muy bien cuándo utilizar la palabra "medida" y cuándo "métrica".
