La desigualdad entre dos cantidades

Question

Como parte de un problema de investigación en el que estoy trabajando, necesito mostrar la siguiente desigualdad. Deje $x=(x_1,\dots,x_K)$ con $x_i > 0$ para todos los $i$. Entonces, quiero demostrar que $$ \frac{1}{K^2}\sum_{i=1}^K x_i \geq K \left(\sum_{i=1}^K x_i^{-1/2}\right)^{-2}.$$ Para $K=2$ esto es fácil de demostrar con una simple álgebra, pero para el caso general, no he logrado encontrar una prueba. Tenga en cuenta que esta desigualdad puede escribirse como $$ \sum_{i,j,k}^K \frac{x_k}{\sqrt{x_ix_j}} \geq K^3. $$ Numéricamente siempre parece claramente espera. Utilizando el hecho de que la $1/2$-la norma es mayor que el $1$-norma, se podría demostrar que es superior a la de $K^2$, pero no a $K^3$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Su suma $S$ también es igual a $$\sum_{i,j,k}\frac{x_j}{\sqrt{x_ix_k}}\qquad\text{and}\qquad\sum_{i,j,k}\frac{x_i}{\sqrt{x_jx_k}}.$$ Por lo tanto $$3S=\sum_{i,j,k}\left(\frac{x_i}{\sqrt{x_jx_k}}+\frac{x_j}{\sqrt{x_ix_k}}+\frac{x_k}{\sqrt{x_ix_j}}\right)\ge 3K^2$$ en la aplicación de AM/GM a cada sumando.

Answer 2

La desigualdad es equivalente a $$ \left(\frac{1}{K}\sum_{i=1}^K x_i^{-1/2}\right)^{-2} \le \frac{1}{K}\sum_{i=1}^K x_i $$ y que es un caso especial de la generalizada significa que la desigualdad: $$ M_p(x_1, \ldots, x_K) \le M_q (x_1, \ldots, x_K) $$ para $p = -\frac 12 < q = 1$.

Answer 3

Porque por el Titular de la: $$\left(\sum_{i=1}^K\frac{1}{\sqrt{x_i}}\right)^2\sum_{i=1}^Kx_i\geq\left(\sum_{i=1}^K\sqrt[3]{\left(\frac{1}{\sqrt{x_i}}\right)^2x_i}\right)^3=K^3.$$