Lo restrictiva que es para un simpléctica forma de representar una integral cohomology de clase?

Question

En Donaldson los papeles en simpléctica hypersurfaces y Lefschetz lápices para simpléctica colectores, considera simpléctica colectores $(M, \omega)$ donde el cohomology de la clase $[\omega/2\pi] \in H^2(M; \mathbb{R})$ se encuentra en la integral de celosía $H^2(M; \mathbb{Z})$.

Cómo restrictiva de una condición que está presente en la simpléctica colector? En particular, yo estaría interesado en saber si hay o no un suave colector en el que se admite sin simpléctica formas de representación de una integral cohomology de clase de esta manera.

Answer 1

Supongamos que $M$ es compacto. Deje $\omega_1,...,\omega_k\in \Omega^2(M)$ ser cerrado las formas que se proyectan a una base de $H^2_{dR}(M)$. Deje $\omega$ ser una forma simpléctica en $M$. A continuación, para $a_1,...,a_k\in {\mathbb R}$ lo suficientemente cerca de a $0$, la combinación lineal $$ \eta= \omega+ \sum_{i=1}^k a_i \omega_i $$ es no degenerada; es, por supuesto, cerrado no importa lo $a_i$'s son. Por lo tanto, la forma $\eta$ es simpléctica (si todos los $a_i$'s son cercanos a cero). La proyección del conjunto de esas formas a $H^2_{dR}(M)$ formas de un barrio de $[\omega]$ desde $[\omega_1],...,[\omega_k]$ fue una base de $H^2_{dR}(M)$. Así, para un subconjunto denso de los parámetros de $a_i$, el cohomology clase de $\eta$ es racional. Por lo tanto, después de reescalado, es integral. Por lo tanto, todas las compactas simpléctica colector admite una integral de la forma simpléctica. No estoy seguro acerca de noncompact caso, pero no le importa de todos modos.