Cómo mostrar el siguiente problema de determinante

Question

Si las matrices $A,B\in M_{3}(\Bbb{Z})$ están en singular y $AB=BA$, muestran que el número de $$\det(A^3+B^3)+\det(A^3-B^3)$$ es el doble de la de un cubo perfecto.

He considerado el polinomio $$\det(A+xB)=\det A+mx+nx^2+x^3\det B$$ De esta manera puedo mostrar

Answer 1

Siguiente Anurag Una sugerencia en los comentarios, vamos a $\omega$ ser una primitiva de la tercera raíz de la unidad (por lo $\omega^2+\omega + 1=0$).

Luego de observar que desde $A$ e $B$ viaje, hemos $$A^3+B^3 = (A+B)(A+\omega B)(A+\omega^2B)$$ and $$A^3-B^3 = (A-B)(A-\omega B)(A-\omega^2 B).$$

Utilizando ese $\det(A)=\det(B)=0$, $p(x)=\det(A+xB)= x(m+nx)$ para algunos enteros $n$ e $m$ a partir de la fórmula que has escrito en la pregunta.

Así $$\det(A^3+B^3)+\det(A^3-B^3) = p(1)p(\omega)p(\omega^2) +p(-1)p(-\omega)p(-\omega^2) $$ $$= (m+n)(m+n\omega)(m+n\omega^2) - (m-n)(m-n\omega)(m-n\omega^2) = m^3+n^3 - (m^3-n^3) = 2n^3.$$