¿Por qué se puede interpretar la función beta de Euler como una amplitud de dispersión?

Question

El artículo de Wikipedia sobre la Amplitud Veneziano afirma que la función beta de Euler puede ser interpretada como una amplitud de dispersión. ¿Por qué es esto?

En otras palabras, cuando la función beta de Euler es interpretada como una amplitud de dispersión, ¿qué características tiene que la hacen capaz de explicar la fuerza fuerte de mesones?

¿Qué propiedades (o por qué) tiene el comportamiento de cuerdas la función beta de Euler (cuando se interpreta como amplitud de dispersión)?

Answer 1

Una función puede ser interpretada como una amplitud de dispersión si esa función satisface los axiomas de la teoría relativista de la matriz S [1]:

1. Invarianza de Lorentz
2. Unitariedad (No realizada por la función beta, pero puede ser ignorada si la función se interpreta como una aproximación de Born a la amplitud exacta)
3. Invarianza T, C, P (solo para interacciones nucleares fuertes)
4. Analiticidad: las singularidades en el plano complejo de energía invariante corresponden a polos o umbrales de partículas, de una manera que no viola la causalidad.
5. Simetria de cruce.
6. Límites de potencia acotados
7. Polos de partículas bien comportados (las masas de partículas estables son positivas, y sus residuos deben ser negativos)
8. Analiticidad del segundo tipo: analítica en el plano complejo de momento angular.

Luego, la función también debe cumplir con algunos de los hechos empíricos recopilados por los experimentadores. Cuando se propuso la función beta, se conjuraba la siguiente lista:

1. Todos los polos en el plano complejo de momento angular se mueven hacia la derecha linealmente con el aumento de la energía a una tasa universal.
2. Dispersión difractiva (No realizada por la función beta de Euler, pero la amplitud de Virasoro sí logra esto)
3. Reacciones inclusivas de alta energía exhiben escalabilidad (tampoco realizada por beta de Euler)
4. Espectro de partículas (determinado por los polos) en acuerdo con el modelo de quarks (tampoco realizado, pero el método de Chan y Paton se acerca)
5. Reproduce datos de procesos débiles y electromagnéticos (tampoco realizado)

Referencias: John Schwarz "Dual Resonance Theory" Phys Rep 8, no. 4, (1973) 269-335

Answer 2

Ciertamente no tengo una respuesta completa, pero lo que sé es lo siguiente. La amplitud Veneziano es la siguiente: $$ \mathcal{A}^{(4)} \propto \lambda\left(B(-\kappa s -1, -\kappa t -1) + B(-\kappa s -1, -\kappa u -1) + B(-\kappa t -1, -\kappa u -1)\right), $$ donde $s, t, u$ son las variables de Mandelstam y $B(x,y)$ es la función Beta de Euler. Nota que la fórmula anterior es simétrica bajo el intercambio de $s, t, u$. Creo que leí en algún lado que los físicos esperaban que la interacción fuerte fuera simétrica bajo intercambios de momento como estos, pero no sé exactamente por qué. Nota que la fórmula anterior es lo que se obtiene en la teoría de cuerdas para la dispersión de taquiones de cuerdas abiertas, con $\lambda = g_c$ (constante de acoplamiento de cuerdas cerradas) y $\kappa = \alpha'$.