¿Por qué es $π$ omnipresente?

Question

No es confuso para encontrar $π$ en el área del círculo o ecuación de la circunferencia, Pero cuando empecé a estudiar matemáticas y física un poco más profundo, empiezo a ver a $\pi$ en muy extrañas posiciones, por ejemplo: $\sum_{n=1}^∞ \frac {1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$, O en la constante de Coulomb $k=\frac{1}{4\pi\epsilon}$, O en la identidad de Euler $e^{i\pi }+1=0$ y en muchos otros lugares.

No estoy preguntando acerca de estos puestos específicos, que yo estoy pidiendo en general ¿por qué es $\pi$ todas partes y la confusión de las posiciones ?

Answer 1

Para $\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2} = \frac{\pi^2}6$ hay un video muy bonito de explicación por 3Blue1Brown disponible en YouTube, relacionando la suma de los círculos y de ahí a $\pi$.

Por la identidad de Euler tenga en cuenta que $e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)$ se relaciona exponenciales a los círculos de inmediato y, a continuación, $e^{i\pi}=-1$ es el mero hecho de decir "caminar 180° alrededor de la unidad de círculo partida en $1$, en el que terminan en $-1$".

No estoy seguro acerca de $\pi$s aparición en Coulumb constante como no soy físico, pero supongo que los círculos (o, más generalmente, esferas) juegan un papel importante en este aspecto.

Answer 2

Un amigo mío dijo: "yo solía pensar de pi en relación con los círculos; en este artículo se establece mí directamente." y me señaló

https://affinemess.quora.com/What-is-math-pi-math-and-while-were-at-it-whats-math-e-math

que recomiendo encarecidamente.

Answer 3

Como usted señaló, $\pi$ está relacionado con los círculos. Por lo tanto, también está relacionado con ángulos o superficies. Una manera muy general en la que los "ángulos" aparecen son series de Fourier, que son relevantes para cualquier fenómeno periódico (y más).

La forma más sencilla (que yo sepa) para calcular $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ es a través de la serie de Fourier.

De nuevo, en la fórmula $e^{i\pi}+1=0$, $\pi$ desempeña el papel de un ángulo.

En el caso de la constante de Coulomb, que aparece debido a que integrar sobre la superficie de una esfera.

Answer 4

$2i\pi$ es el período de la exponencial compleja. La inversa de esta función es el logaritmo, se sabe que tienen un derivado $\frac1z$. Que crea una conexión cercana a los polos de las funciones complejas, lo que hace que $2i\pi$ aparecen en el residuo de la fórmula, y corresponde a una fase de salto; en términos geométricos, un giro completo.

En relación con las coordenadas polares, aparece en varias de las integrales con simetría circular.

• el perímetro del círculo,

• el área del círculo,

• el volumen bajo un bivariante de la superficie Gaussiana.

La última integral es la relativa a la función Gamma y explica por qué la $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$. Supongo que esto también está relacionado con la $\sqrt\pi$ que aparece en la fórmula de Stirling para el factorial.

Por un proceso de factorización (una consecuencia del teorema de Fubini ?), $\pi$ termina en las integrales que generalizar aquellos del círculo (superficie y volumen de hyperspheres), con $\pi$ a los poderes dependiendo de las dimensiones (y que implican $\Gamma$ de media enteros). Esta es la razón por la que usted encontrará $\pi$ en algunas fórmulas de la física que tiene que ver con simetría esférica.

El problema de Basilea (suma de los inversos de los cuadrados) puede ser probado a través de una factorización de la sinusoidal, relacionados con la misma para el período. La generalización a mayores grados (suma de los inversos de incluso poderes) también conduce a los poderes superiores de $\pi$, esta vez junto con los números de Bernouilli.

Answer 5

Acerca de la constante de Coulomb:
Gauss la ley de los estados que $$\operatorname{div}(E)=\frac{\varrho}{\varepsilon_0}$$ O, alternativamente, (la integral de la forma): $$\int E \cdot \hat{n} \mathrm{d}S = \frac{q}{\varepsilon_0}$$ Y si asumimos que hay un punto de carga en $0$ y simetría esférica, entonces tenemos que $$E(r)=|E(r)| \hat{n}$$ Así que si integramos sobre una esfera centrada en $0$ radio $r$ obtenemos que $$|E(r)| 4 \pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ $$|E(r)|=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$$ Y es conveniente dejar $$k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$$