Ejemplo de no-cocompact de celosía en un determinado grupo topológico

Question

Un ejercicio de Dave Witte Morris' Introducción a la Aritmética de los Grupos le pide al lector a pensar en la siguiente.

• $\Gamma$ es un no-cocompact de celosía en un grupo topológico $H$
• $H$ tiene un diseño compacto, abierto subgrupo $K$

El ejercicio le pide al lector mostrar que $\Gamma$ tiene un no-trivial de elemento finito de orden. Mientras que el ejercicio en sí es fácil, estoy teniendo dificultades para llegar con un ejemplo de un grupo de $H$, y un entramado $\Gamma$.

Desde $K$ tiene que ser un abrir compacto subgrupo, que significa que la identidad de los componentes de $H$ debe ser compacto, y por lo tanto $H$ es el semidirect producto de un pacto conectado grupo $H^{\circ}$, y un grupo discreto $D = H/H^{\circ}$. Dado un grupo de $H^{\circ} \ltimes D$, ahora necesita encontrar un no-cocompact celosía $\Gamma$, y esto es donde estoy atascado. Yo no puedo pensar en ninguna ejemplos de tales celosías. Si alguien tiene alguna ejemplos, yo estaría interesado en saber lo que son. Gracias.

Answer 1

Un ejemplo es $\mathrm{SL}_n(\mathbf{F}[t])$ en $\mathbf{SL}_2\big(\mathbf{F}(\!(t^{-1})\!)\big)$ para $n\ge 2$ e $\mathbf{F}$ un campo finito.

Otra familia de ejemplos (en los que el ambiente del grupo es solucionable, no finitely generado), es debido a Bader, Caprace, Gelander y Mozes; aquí, el grupo $G$ se define a partir de una secuencia de campos finitos $F_{(n)}$, y que se define como $G=\bigoplus_nF_{(n)}\rtimes \prod_nF_{(n)}^*$. La celosía se abelian. Ver detalles en el mismo.

Todos estos grupos son de hecho muy lejos de torsión libre: en este último caso, estas rejillas son infinitas localmente grupos finitos. En el primer aritmética caso, el entramado contiene unipotentes subgrupos, que son infinitos $p$-primaria abelian grupos ($p$ siendo la característica del campo).