Potencias de los números complejos.

Question

Es sabido que si $\alpha$ es un número complejo, entonces, por ejemplo, la ecuación de $x^2 = \alpha$ ha $2$ soluciones. En general, hay $n$ valores de la $n$-th raíces de un número. En otras palabras, si queremos evaluar, decir $\alpha^{\frac{12}{17}}$, tendríamos, de nuevo, $17$ valores diferentes.

Sin embargo, lo que si hemos querido evaluar $\alpha ^ \beta$, donde $\beta$ es un número irracional ($\beta \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Q}$)? Hay infinitamente muchos numers $z$ tal que $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}\beta]{z} = \alpha$

Soy consciente de que, para los números complejos, se define el $\alpha^\beta = e^{\beta\log{\alpha}}$,y por la elección de los diferentes valores del logaritmo (como es una función de varios valores), se pueden obtener diferentes valores de nuestro poder.

Mi conjetura es: si elevamos un número $\alpha$ a un exponente racional $\beta$, a continuación, los diferentes valores de $\beta \log \alpha$ finalmente comenzará a repetirse, ya que $\beta \in \mathbb{Q}$. Más específicamente, se puede poner el $\log \alpha= \log |\alpha| +i\theta + 2k\pi i$, $k \in \mathbb{Z}$, por lo que cuando evaluamos $\alpha^\beta = e^{{\beta\log{\alpha}}} = e^{\beta (\log |\alpha| + i\theta + 2k\pi i)}$ como $k$ ejecuta a través de los números enteros, es sólo crear un conjunto finito de valores. Sin embargo, cuando se $\beta$ es irracional (o al menos uno de $\Re{(\beta)}$ o $\Im{(\beta)}$ es), este conjunto de valores no puede ser finito.

Es mi interpretación correcta? Podría este tipo de argumento o de trabajo, para mostrar que ciertos "polinomios" con poderes irracionales tienen un número infinito de soluciones (i.e $z^\sqrt{2} + z^\sqrt{3} + 1 = 0$)?

Answer 1

Tenga en cuenta que para tener $$e^{\beta\log |\alpha| + i\theta + 2k\pi i)}=e^{\beta\log |\alpha| + i\theta + 2j\pi i)}$$ usted necesita tener $$2k\beta\pi = 2j\beta\pi+ 2m\pi$$ para algunos $m\in\mathbb Z$. A continuación, habría $$\beta=\frac m{k-j}\in\mathbb P.$$ Es decir, cuando se $\beta$ es irracional obtener una infinidad de diferentes raíces.

La pregunta acerca de la "irracional polinomio" es buena, pero no veo una evidente método para encontrar sus raíces.