¿La existencia de$\lim f'(x)$ implica la existencia de$\lim f(x)$?

Question

Deje que $f(x)$ sea una función diferenciable en un intervalo $(a,b)$ , donde $a<b$ . Si existe $\lim_{x\to a^+}f'(x)$ , ¿sigue necesariamente que también existe $\lim_{x\to a^+}f(x)$ ? Sospecho que es cierto, pero ¿alguien sabe alguna prueba simple?

Answer 1

Por MVT $f(x)-f(y)=(x-y)f'(t)$ para algunos $t$ entre $x$ e $a$. Desde $f'(t)$ queda delimitada por $x,y>a, |x-a|,|y-a|$ suficientemente pequeño se sigue que $(f(x_n)$ es una secuencia de Cauchy para cualquier $x_n$ disminuyendo a $a$. por lo tanto tiene un límite. Es también una forma clara MVT que el límite está en dependiente de $(x_n)$. por lo tanto $\lim_{x \to a+} f(x)$ existe.

Answer 2

Edit: se me olvidó diferenciable y $C^1$ eran distintas aquí por un momento. Esta respuesta supone que $f$ es $C^1$ (al menos en algunos intervalo de $(a,a+2\epsilon)$).

Además edit: en Realidad, la relectura de la declaración, la FTC no requieren $f'$ a ser continua, simplemente Riemann integrable. Por lo tanto, sólo necesitamos $f'$ a ser de Riemann integrable en algún conjunto abierto $(a,a+2\epsilon)$. Todavía no es cierto en general si $f$ es diferenciable, ya que hay funciones como la de Volterra función, que son diferenciable en todas partes con delimitada derivados, pero cuyas discontinuidades tiene medida positiva.

Respuesta Original

Por el teorema fundamental del cálculo, $$f(x)=f(a+\epsilon) - \int_x^{a+\epsilon}f'(t)\,dt,$$ and as $x\a un$, $$f(x)\to f(a+\epsilon) - \int_a^{a+\epsilon}f'(t)\,dt.$$ The integral exists, and the limit converges since if $$\lim_{x\to a^+}f'(x)$$ existe, entonces, $f'(x)$ está delimitada en $(a,a+\epsilon)$ para algunos $\epsilon > 0$.

Como una nota del lado, sólo tenemos que $f'$ está delimitada en $(a,a+\epsilon)$ para algunos $\epsilon$ para esta prueba para trabajar.

Answer 3

Supongamos $\lim_{x \rightarrow a^+}f'(x)=L$. Dado $\epsilon > 0$, hay un $\delta > 0$ tal que $a < x < a + \delta$ implica $L - \epsilon < f'(x) < L + \epsilon$. Entonces, si $a < x < y < a + \delta$, tenemos, por una aplicación de la MVT, $L - \epsilon < \frac{f(y)-f(x)}{y-x} < L + \epsilon$, es decir,

$$(*): f(x)+(L-\epsilon)(y-x) < f(y) < f(x)+(L+\epsilon)(y-x)$$

De ello se desprende que $f(y) \le (\liminf_{x \rightarrow a^+} f(x)) + (L+\epsilon)(y-a)$ y, por tanto, $$\limsup_{y \rightarrow a^+} f(y) \le \liminf_{x \rightarrow a^+} f(x)$$

Por (*), se deduce que el $f$ está delimitado cerca de $a$ y, a continuación, $\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)$ existe.