Obviamente, depende de lo que quieres decir por "diferenciable a trozos." Te voy a mostrar lo siguiente:
Reclamo: existe una función derivable $f: [0,1] \rightarrow \mathbb R$, de tal forma que si $R$ es el conjunto en función de las $\max\{f,0\}$ es diferenciable, $R$ no puede ser escrito como una contables de la unión de intervalos.
Yo diría que esta $f$ es, por tanto, no es derivable a trozos, para cualquier definición razonable de "diferenciable a trozos".
Prueba de Reclamación:
Paso 1. La construcción de $f$:
Para $m \geq 0$, vamos a $\mathcal A_m$ ser el espacio de $m$-tuplas $(a_1, ..., a_m)$ donde cada una de las $a_i$ es $0$ o $2$. Si $A \in \mathcal A_m$, podemos definir el intervalo abierto $I_A = (b_A + \frac 13 3^{-m}, b_A + \frac 23 3^{-m})$ donde $b_A = \sum_{i=1}^m a_i 3^{-i}$. Uno puede comprobar que estos intervalos son disjuntas.
Los intervalos de $I_A$ $A \in \mathcal A_m$ son precisamente los intervalos abiertos que quitó en el paso $(m+1)$ en el estándar de la construcción del conjunto de Cantor. De esta manera podemos
$$C = [0, 1] \setminus \bigcup_{m=0}^\infty \bigcup_{A \in \mathcal A_m} I_A\text;$$
este es el estándar de conjunto de Cantor.
Vamos a definir $f$ como sigue: Si $x \in C$, entonces nos pusimos $f(x) = 0$. De lo contrario, no hay una única $m \geq 0$ y un único $A \in \mathcal A_m$ tal que $x \in I_A$. Podemos escribir $I_A = (c_A, d_A)$ donde $d_A - c_A = 3^{-m-1}$. Deje $z(x) = 3^{m+1}(x - c_A)$, y deje $f(x) = 3^{-2m-2} h(z(x))$ donde $h(z) = z^2 (z-1)^2 (z-1/2)$. (La forma precisa de $h$ no importa; las propiedades que necesitamos es que el $h(0) = h'(0) = h(1) = h'(1) = h(1/2) = 0$, e $h'(1/2) \neq 0$.)
[A menos formales, pero más legible definición de $f$: En cada uno de los intervalos que eliminar para obtener un conjunto de Cantor, la cola en una copia de $h$ arriba, donde los valores se ajustaron de acuerdo con el cuadrado de la longitud del intervalo.]
Paso 2. Compruebe que $f$ es diferenciable:
En el interior de cada una de las $I_A$, está claro que $f$ es diferenciable, ya que se define como una composición de funciones diferenciables. Tan solo necesitamos comprobar que $f$ es diferenciable en cada punto en $C$. De hecho, yo reclamo que $f'(x) = 0$ siempre $y \in C$:
Para mostrar esto, vamos a probar que $\lvert f(x)\rvert \leq (x-y)^2$ todos los $x \in [0,1]$. Para ver esto, supongamos que $x \in I_A$ donde $A \in \mathcal A_m$ algunos $m$. (Si no, entonces, por definición,$f(x) = 0$, y la desigualdad es obviamente cierto.) De nuevo, escribir $I_A = (c_A, d_A)$. Ciertamente, $\lvert x-y\rvert \geq d$ donde $d = \min \{x-c_A, d_A - x\}$ es la distancia de $x$ hasta el límite de $I_A$. Refiriéndose a $z(x)$ a partir de la definición de $f$, se deduce que el $\lvert x-y\rvert \geq 3^{-m-1} \min\{z(x), 1 - z(x)\}$. Para $0 \leq z \leq 1$, es fácil comprobar que $\lvert h(z)\rvert \leq (\min \{z, 1-z\})^2$. Armando todo junto, la definición de $f(x) = 3^{-2m-2} h(z(x))$ da $\lvert f(x)\rvert \leq (x-y)^2$.
A partir de esta desigualdad, la definición de la derivada rápidamente muestra que $f'(y) = 0$.
Paso 3. El conjunto donde $\max\{f, 0\}$ no es diferenciable:
Deje $g = \max\{f, 0\}$. Deje $S$ el conjunto de los puntos medios de los intervalos de $I_A$$A \in \bigcup_{m=0}^\infty \mathcal A_m$. Puedo reclamar si $x \in S$, $g$ no es diferenciable en a $x$.
Esto es bastante fácil de comprobar. De hecho, si $x$ es el punto medio de la $I_A$ donde $A \in \mathcal A_m$, a continuación, utilizando la regla de la cadena, se puede comprobar que $f'(x) = 3^{-m-1} h'(1/2) = 3^{-m-1}/4$. Este será el derecho derivado de la $g$$x$, mientras que la izquierda derivados será cero, por lo $g$ no es diferenciable en a $x$.
Paso 4. El conjunto de puntos donde $g$ es diferenciable no puede ser escrito como una contables de la unión de intervalos:
Supongamos que $I$ es un intervalo donde el $g$ es diferenciable. A continuación, $I$ puede contener más de un punto de $C$, debido a que entre cualesquiera dos puntos de $C$, debe ser uno de los ""quitado intervalos" $I_A$, y por lo tanto un punto de $S$. Dado que el conjunto de Cantor $C$ es incontable, esto demuestra que $[0,1] \setminus S$ no puede ser escrito como la unión de los intervalos.
