¿Las características de$u_t+f(u)_x=0$ son siempre líneas rectas?

Question

Estoy estudiando leyes de conservación y revisión de los papeles que tengo un duda. Considere la posibilidad de

$$u_t+f(u)_x=0$$ with $f$ suavidad de una ley de conservación y tomar las características

$$x(t)\,\, ; \,\, x'(t)=f'(u(x(t),t))\,\, ; x(0)=x_0$$

Son siempre líneas rectas para cualquier $f$?

Hice el siguiente cálculo:

$$x''(t)=f''(u(x(t),t)\underbrace{(u_x x'(t)+u_t)}_{0}=0$$

Creo que me he equivocado, porque he pensó que esta afirmación de que características son las líneas sostiene sólo para algunos casos, como las Hamburguesas' ecuaciones.

Muchas gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $u$ es constante a lo largo de las curvas características de $x'(t) = f'(u(x(t),t))$ parametrizada por $t$. En efecto, de acuerdo a la regla de la cadena y la cuasi-lineal de la PDE $u_t + f'(u) u_x = 0$ sí, tenemos $$ \frac{\text d}{\text d t}u(x(t),t) = u_x x'(t) + u_t = 0\, . $$ Por lo tanto, esas curvas son rectas en el $x$-$t$ plano.