Estoy buscando una buena solución proyectiva para un problema:
"¿Por qué podemos dibujar exactamente 2 parábolas a través de 4 puntos (que están ubicados en vértices de un cuadrilátero convexo) en el plano real afín?"
¿Podría darme algún consejo, por favor?
Las cónicas de cuatro puntos dados forman un lápiz, cuya ecuación se puede representar como la combinación lineal de dos cónicas cualquiera en el lápiz.
Si solo nos fijamos en los términos cuadráticos, la combinación será de la forma
PS
La condición para una parábola es
PS
que tiene dos soluciones en $$(a'+\lambda a'')x^2+2(b'+\lambda b'')xy+(c'+\lambda c'')y^2.$ .
Posible inicio. Se requieren cinco condiciones para determinar una cónica. Tienes cuatro puntos. Para cada línea en el plano habrá una cónica única a través de los cuatro puntos tangentes a la línea. Cuando envías esa línea al infinito con una transformación proyectiva, la cónica se convertirá en una parábola.
Eso es lo que he llegado. Sospecho que encuentras las "dos parábolas" invocando la convexidad y cómo la línea separa los puntos. Esos no son conceptos puramente proyectivos.
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