Regiones máximas que pueden dividir un círculo

Question

El problema de la división de círculos por líneas ( enlace ) se pregunta en cuántas regiones, como máximo, se puede dividir un círculo (o: el plano) con $n$ acordes (o: líneas).

Me pregunto por una cuestión similar, pero para la que las curvas divisorias no son cuerdas/líneas, sino $\mathsf{V}$ -cursivas, que pueden orientarse en cualquier dirección. En pocas palabras:

¿Cuál es el número máximo de piezas en que se puede dividir un círculo para un número dado de $\mathsf{V}$ -con forma de corte, donde los cortes pueden orientarse en cualquier dirección?

---

RE: Comentarios iniciales Me parece bien la suposición de que el vértice debe ser dentro de el círculo y el ángulo debe ser fijo en todos los $\mathsf{V}$ -cortes. Pero, ¡estoy abierto a las sugerencias que otros consideren oportunas!

RE: Solución De hecho, la fórmula proporcionada funciona independientemente del ángulo del vértice. En retrospectiva, la fórmula de Euler es una forma sabia de resolver el problema y, con una rápida comprobación, uno encuentra que al enchufar $n=1$ y $n=2$ respectivamente, se obtiene $2(1)^2 - 1 + 1 = \fbox{2}$ y $2(2)^2 - 2 + 1 = \fbox{7}$ , según se desee.

---

Por ejemplo, cuando hay un total de $2$ $\mathsf{V}$ -cortes, creo que el máximo es $7$ regiones:

¿Cuál es el número máximo de regiones para $n \in \mathbb{Z}^+$ total $\mathsf{V}$ -¿Cortes?

Answer 1

Consideramos un caso sencillo cuando los vértices de $\vee$ -Los cortes deben estar dentro del círculo, pero sus ángulos pueden ser iguales o diferentes (resulta que esto no cambia la respuesta). Una configuración de $\vee$ -puede considerarse naturalmente como un (multi)grafo plano conectado. Sea $0\le V_{ij}\le 4$ sea el número de puntos de intersección entre $i$ -y $j$ -en $\vee$ ’s. Poner $S=\frac 12\sum_{i\ne j} V_{ij}\le 2n(n-1).$ Es fácil ver que el gráfico tiene $$V=2n+\tfrac 12\sum_{i\ne j} V_{ij}=2n+S$$ vértices y $$E=2n+\sum_{i}\left(1+\sum_{j\ne i}V_{ij}\right)=3n+2S$$ bordes. Por la fórmula de Euler, el gráfico $G$ tiene

$$F=1+E-V=1+3n+2S-2n-S=1+n+S\le 2n^2-n+1$$

caras interiores y la igualdad se alcanza si cada $V_{ij}$ es igual a $4$ .