Evaluar $\int_0^1 \frac{3x}{\sqrt{4-3x}} dx$

Question

Así que esta es la integral que debo evaluar:

$$\int_0^1 \frac{3x}{\sqrt{4-3x}} dx$$

Ya lo tengo evaluado pero no entiendo uno de los pasos de su transformación. Entiendo cómo se evalúan las integrales, pero no entiendo algunos de los pasos cuando se descompone y se integra. Los pasos son los siguientes:

$$ - ( \frac {-3x} {\sqrt{4-3x}})$$ $$ - ( \frac {4-3x-4}{\sqrt{4-3x}}) $$ $$ - \sqrt {4-3x} + \frac {4}{\sqrt{4-3x}}$$ $\mathbf {Question1} $ En estos tres pasos lo primero que no entiendo es cómo se desglosó en dos términos en el tercer paso. Si sumo los términos del tercer paso vuelvo a tener el original pero no entiendo cómo el autor llegó a este punto en primer lugar, como saber cómo se descompone en qué y cuáles términos.

Después de esto se vuelve a poner en la ecuación original:

$$ \int_0^1 \frac {3x}{\sqrt{4-3x}} dx = - \int_0^1 (4-3x)^\frac {1}{2} dx + 4 \int_0^1 (4-3x)^\frac{-1}{2} dx $$

$$ = \frac {1}{3} \int_0^1 (4-3x)^\frac {1}{2} (-3 dx) - \frac{4}{3} \int_0^1 (4-3x)^\frac{-1}{2} (-3dx) $$

Después de esto se integra como siempre con $-3dx$ término que desaparece en ambos y $(4-3x)^\frac{1}{2}$ y $(4-3x)^\frac{-1}{2}$ se integran con la fórmula n+1.

$\mathbf{Question 2}$ ¿Por qué fue $-3$ multiplicado y dividido en el segundo paso. La dx no cambia a du, así que claramente no es una sustitución. Entonces, ¿qué está pasando exactamente aquí?

Answer 1

Esta es una solución muy complicada. Sería más fácil si se hace una sustitución $t= 4-3x$ , entonces se obtiene $$\int {4-t\over -3\sqrt{t}}dt =-{1\over 3}\int (4t^{-1/2}-t^{1/2})dt=... $$

Answer 2

Su segunda pregunta se refiere efectivamente, a pesar de sus dudas, al método de sustitución. La razón por la que no ves un $du$ (o cualquier otro cambio de variable) es porque lo hicieron de una manera menos común notablemente, pero si lo pruebas con la sustitución verás que todo funciona igual.

La primera pregunta es buena, porque a menudo no basta con saber que algo funciona, sino que hay que saber cómo hacer cosas similares en el futuro. El autor de la solución se dio cuenta de que la integral era difícil tal y como estaba escrita, pero que podían utilizar la sustitución (como se ha mencionado anteriormente) si tenían dos expresiones racionales, cada una de las cuales contenía $x$ en un solo lugar. Desde el $4$ estaba por debajo de la raíz cuadrada, siguieron adelante y trataron de sumar y restar eso del numerador para obtener el cuadrado del denominador, anulándolo, por un lado, y por el otro, sólo una constante. En este caso funcionó. No siempre funcionará.

Prueba la misma lógica con las integradas de abajo para ver cómo va:

$$\dfrac{2x}{5-2x}$$

$$\dfrac{2x}{5-3x}$$

Tal vez, después de probar ambas cosas, puedas incluso conjeturar sobre cuándo el método funcionará y cuándo no.

Answer 3

Respondiendo a la pregunta 1: \begin {align*} & - \left ( \frac {4-3x-4}{ \sqrt {4-3x}} \right ) \\ = & - \left ( \frac {4-3x}{ \sqrt {4-3x}} - \frac {4}{ \sqrt {4 - 3x}} \right ) \\ = & - \frac {( \sqrt {4-3x})^2}{ \sqrt {4-3x}} - \left (- \frac {4}{ \sqrt {4 - 3x}} \right ) \\ = & - \sqrt {4-3x} + \frac {4}{ \sqrt {4-3x}} \end {align*}