El límite de enteros positivos consecutivos que son el producto de n primos.

Question

La longitud máxima de una cadena de números primos consecutivos es de 2, es decir, los números primos 2, 3. Esto es fácil de probar, ya que ningún número distinto de 2 es un número primo.

En contraste, considere el conjunto de números que son un producto de dos números primos (que no necesita ser distintas). Este conjunto comienza 4, 6, 9, 10, 12 ... Se va a incluir los números 33, 34, 35 - una carrera de tres números enteros consecutivos. Es este el más largo consecutivos de ejecución de dichos números?

Mi conjetura: que cada conjunto de números que son el producto de exactamente n números primos contiene una y sólo una carrera de números consecutivos que es n+1.

Ni idea de si esto es cierto! Pensamientos, ¿alguien?

Answer 1

Los límites cada vez son definidos por los poderes de la $2$. Así que una serie consecutiva de números que tienen exactamente dos factores primos (no necesariamente distintos) estará limitado por la necesidad de evitar los múltiplos de $2^4=4$ (dado que la inclusión de $4$ sí no es una opción).

Y una serie consecutiva de números que tienen exactamente tres factores primos (no necesariamente distintos) estará limitado por la necesidad de evitar los múltiplos de $2^3=8$. Por lo que podemos esperar de una carrera de a $7$ de esos números, y el más pequeño de tales run comienza a las $211763$: $$\begin{array}{c|c} n &f_1 & f_2 & f_3 \\ \hline 211673 & 7 & 11 & 2749 \\ 211674 & 2 & 3 & 35279 \\ 211675 & 5 & 5 & 8467 \\ 211676 & 2 & 2 & 52919 \\ 211677 & 3 & 37 & 1907 \\ 211678 & 2 & 109 & 971 \\ 211679 & 13 & 19 & 857 \\ \end{array}$$