En primer lugar, como otro usuario ha dicho, es importante tener en cuenta que existe una distinción importante entre el $\Gamma \models \phi$ donde $\Gamma$ es un conjunto de fórmulas, y $\mathcal{A} \models \phi$ donde $\mathcal{A}$ es una estructura. Que yo sepa, la palabra "modelos" se utiliza sólo en el último caso. Ya que tu pregunta fue originalmente acerca de la relación entre el "común" el uso de la palabra "modelo" y la lgica del uso, aquí me centraré en esta relación. Para más detalles sobre la historia de la palabra "modelo" y su (científica) de usa, te recomiendo Roland Müller en su ensayo, "La Noción de un Modelo: Una Visión Histórica", de la que he reunido la mayor parte de mi información acerca de este.
De todos modos, según Müller, uno de los usos comunes de la palabra "modelo" es en el sentido de "prototipo" o "original", como cuando una persona sirve como un modelo para una pintura, o una pequeña escultura sirve como modelo para una construcción mayor (es decir, una catedral). Observe que la característica más destacable aquí es menos la idea de que el "modelo" es el original, y más la idea de que la usamos para leer las propiedades importantes del objeto que está siendo modelado. Esto está todavía en uso como cuando hablamos de la lógica sobre el uso de un "juguete modelo" para el estudio de una teoría; de hecho, parece que diecinueve siglos de los geómetras, tales como Plücker, literalmente, utiliza modelos de juguete (objetos tridimensionales) para la ayuda en el estudio de teorías geométricas. Así, en primer lugar, la palabra "modelo" estaba vinculada a esta idea de un pequeño prototipo a escala que se utiliza para el "control" de las propiedades deseadas.
Más tarde, sin embargo, como Müller destaca, los geómetras empezó a encontrar los objetos que fueron difíciles de modelar de esta manera. En particular, tanto proyectivas y geometrías hiperbólicas que plantea problemas para los que querían construir en pequeña escala de los objetos para servir como modelos para su estudio. De hecho, no es del todo claro cómo crear una pequeña escala de la botella de Klein, o más complicado, los objetos geométricos. Así, según Müller, los geómetras se acercó con dos soluciones para este problema: pseudo-modelos y los modelos abstractos.
Pseudo-los modelos son modelos que introducen sistemática de las distorsiones en el fin de facilitar la visualización. Es decir, crear un objeto que distorsiona el original, pero cuya distorsión controlada, de modo que usted sepa exactamente qué características han sido distorsionados. En otras palabras, sabemos exactamente cómo pasar de la distorsión de la función de la falseamiento de uno y viceversa. Müller ejemplo es Poincaré modelos del plano hiperbólico utilizando el círculo o el semiplano.
El otro dispositivo es un modelo abstracto, en la que no intento de crear un físico de modelo o prototipo, pero en lugar de intentar dar una descripción abstracta de una estructura matemática que tiene las propiedades deseadas. Aunque Müller no hacer el enlace de manera muy explícita, a mí me parece que este último dispositivo está conectado con el surgimiento de la teoría estructural y descripciones en la obra de Riemann y Dedekind. Este último, especialmente, parecía pensar de sus "Sistemas" de esta manera.
Müller también se ocupa de cómo la palabra fue finalmente introducida por Tarski y Robinson con el fin de dar nacimiento a la modelo de la teoría, pero el punto importante de esta pregunta es esta: cuando decimos que $\mathcal{A} \models \phi$, no estamos diciendo que el $\mathcal{A}$ es un modelo de $\phi$ en el sentido de una representación de $\phi$. Más bien, estamos diciendo que $\mathcal{A}$ es un modelo o prototipo, de la que se lee fuera de la propiedad que $\phi$. Por lo $\mathcal{A}$ es un modelo de $\phi$ en el sentido de que algunas personas especulan que Da Vinci mismo es el modelo de la Mona Lisa: es la original, o prototipo, el cual Da Vinci estudió con el fin de leer las propiedades relevantes que le permitió pintar la Mona Lisa. Por otra parte, y más abundantemente, también se puede decir que $\mathcal{A}$ es un modelo de $\phi$ en el sentido de que un determinado objeto tridimensional (es decir, un a pequeña escala de la pirámide) es un objeto (un modelo) que nos permite estudiar las propiedades de un concepto geométrico (es decir, el concepto de tetraedro).
Tanto la palabra "modelo". Ahora, ¿por qué usar el símbolo $\models$ para diferentes cosas? Así, existe una clara relación entre ellos: $\Gamma \models \phi$ fib para todos $\mathcal{A}$, $\mathcal{A} \models \Gamma$ implica $\mathcal{A} \models \phi$. Por lo que la sobrecarga es inofensivo (o eso me parece).
