Números enteros positivos $a$ y $b$ son tales que $ab+1$ es un factor de $a^2+b^2$ . Demostrar que $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ es un cuadrado perfecto.

Question

Pregunta nº 6 de la OMI de 1988

Tengo una confusión en la pregunta. La pregunta es la siguiente:

$a$ y $b$ son enteros positivos y $ab+1$ es un factor de $a^2+b^2$ . Demostrar que $\displaystyle\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ es un cuadrado perfecto.

Mi confusión: Según yo, $a$ y $b$ tienen un solo valor, es decir $a=b=1$ . ¿Cuáles son los otros valores posibles de $a$ y $b$ ?

Answer 1

Supongamos que $(a^2 + b^2)/(ab + 1) = k \in \mathbb{N}$ . Entonces tenemos $a^2 - kab + b^2 = k$ . Supongamos que $k$ no es un cuadrado entero, lo que implica que $k \ge 2$ . Ahora, observamos el par mínimo $(a, b)$ tal que $a^2 - kab + b^2 = k$ retenciones. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $a \ge b$ . Para $a = b$ obtenemos $k = (2 - k)a^2 \le 0$ , por lo que debemos tener $a > b$ .

Observemos la ecuación cuadrática $x^2 - kbx + b^2 - k = 0$ que tiene soluciones $a$ y $a_1$ . Desde $a+ a_1 = kb$ se deduce que $a_1 \in \mathbb{Z}$ . Desde $a > kb$ implica $k > a + b^2 > kb$ y $a = kb$ implica $k = b^2$ se deduce que $a < kb$ y por lo tanto $b^2 > k$ . Desde $aa_1 = b^2 - k > 0$ y $a>0$ se deduce que $a_1 \in \mathbb{N}$ y $a_1 = (b^2 - k)/a < (a^2 - 1)/a < a$ . Así, hemos encontrado un par de enteros $(a_1, b)$ con $0 < a_1 < a$ satisface la ecuación original. Esto contradice la hipótesis inicial de que $(a, b)$ es mínimo. Por lo tanto, $k$ debe ser un cuadrado entero.