¿Isometría frente a medida conservada?

Question

Considerar funciones entre dos espacios métricos medidos. ¿Cuál es la relación entre una isometría y una función que preserva la medida de los subconjuntos?

Esta pregunta surgió en mi cabeza cuando pensé en la proyección de Cantor en$[0,1]$.

Esta pregunta tenía algo, pero no creo que se resuelva por completo.

Answer 1

Isometrías preservar el espacio métrico de la estructura. Medir el espacio de la estructura en general es una cosa totalmente diferente; la preservación de una cosa no está relacionado con la preservación de la otra. Sin embargo, hay una excepción: medidas de Hausdorff, que se definen exclusivamente en términos de la métrica y, por tanto, se comportan bien en virtud de isometrías. Aclaración: si $f:X\to Y$ es un bijection entre métrica espacios que $d_Y(f(a),f(b))=d_X(a,b)$ todos los $a,b\in X$, entonces el pushforward de Hausdorff medida $\mathcal{H}^d$ $X$ bajo $f$ es la medida de Hausdorff $\mathcal{H}^d$$Y$.

Por cierto, el recuento de medida puede ser entendido como el $0$-dimensiones de Hausdorff medida, por lo que se incluye aquí. Por supuesto, el recuento de medida se comporta bien bajo cualquier bijection.

Yo no podía venir para arriba con una situación natural en que medida la preservación de los mapas son automáticamente métrica-preservación. El problema es que es difícil construir un indicador de una medida sin la participación de estructuras adicionales, tales como la topología. E. g., uno podría tratar de construir un indicador $d_\mu$ de medida $\mu$ dejando $$d_\mu(a,b)=\inf\{\mu(E): a,b\in E,\ \text{ $E$ is connected}\}$$ pero esto implica que la estructura topológica. La de arriba es una sensata la construcción de la línea real; por ejemplo, se obtiene el nivel métrico a partir de la medida de Lebesgue en este camino.