diferencia entre

Question

¿Hay alguna diferencia entre$\sqrt [q]{x^p}$ y$x^{p/q}$?

Parece que no hay diferencia cuando se trata solo de reales positivos, pero ¿qué sucede cuando$x$ es negativo (o incluso complejo)?

Puede que, de hecho, no haya diferencia, pero desconfío demasiado, solo quiero estar seguro ...

Answer 1

Algunas personas prefieren considerar $\sqrt[n]{\cdot}$ como la inversa de a $(\cdot)^n$. En particular, escribir libremente $\sqrt[3]{-1}$. Por otro lado, se prefiere no escribir $(-1)^{\frac{1}{3}}$ debido a que este iba a ser diferente a la de $(-1)^{\frac{2}{6}}$. He visto esta distinción principalmente en los profesores de secundaria, debido a que en ese nivel puede ser difícil de explicar que el poder de las reglas pueden ser falsos, para los números negativos.

Otra observación es que, para $x>0$ y $\alpha \in \mathbb{R}$, $x^\alpha = e^{\alpha \log x}$, y esto debe ser cierto cuando se $\alpha = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$. Hay gente que lee el $x^{\frac{p}{q}}$ como un caso especial de $x^\alpha$, y quieren que el $x > 0$. Es por lo tanto útil para distinguir entre el$\sqrt[q]{x}$$x^{\frac{1}{q}}$, porque la primera puede ser definida también por $x<0$.

Answer 2

Ya existe la posibilidad de una diferencia en el significado sin recurrir a números complejos: compare$\sqrt[2]{(-1)^2} = \sqrt{1}$ a$(-1)^{2/2} = (-1)^1$.

El punto es que realmente no hay una manera de definir una función (de valor individual)$x^y$ a través de valores negativos / complejos de$x,y$ para que$(x^a)^b$ sea siempre igual a$x^{ab}$. Esto hace que el orden de las operaciones sea importante, por lo que puede haber distinciones sutiles entre "aumentar a potencia$p$, luego potencia$1/q$" y "aumentar a potencia$p/q$".

Answer 3

No hay diferencia entre$\sqrt[p]{x^q}$ y$x^{\frac{q}{p}}$, son solo diferentes formas de notación para la misma cosa.