Estoy teniendo algunos problemas para el suministro de una prueba aquí.
Deje $(E, d)$ ser un espacio métrico de tal manera que las $k$-Lipschitz función tiene un punto fijo para $0 < k < 1$. De lo anterior se sigue, entonces, que el $E$ es completa?
Respuesta
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No. Tomemos, por ejemplo, $E=\{(x,\sin(1/x)\mid 0<x\le 1\}$.
Supongamos $f\colon E\to E$ $k$- Lipschitz de la función. Se puede extender a una función en la realización de $E$, $E'=E\cup\{(0,y)\mid |y|\le1\}$. Ahora para mostrar que la función original tiene un punto fijo sólo tenemos que demostrar que el punto fijo de la extensión no puede mentir sobre el eje y.
La idea es, yo creo, que en tal caso "cada onda de seno se asigna a una onda más cerca del eje y" y, a continuación, cada punto de $\{(0,y)\mid |y|\le1\}$ sería un punto límite de alguna secuencia de la forma $f^n(a)$ ($a\in E$) -- es decir, todos los $E'\setminus E$ consistiría en puntos fijos que es imposible.
Para completar la prueba y otros ejemplos, véase, por ejemplo, En un recíproco para Banach del Teorema de Punto Fijo
