Pregunta básica de teoría de grupos sobre el índice de subgrupos.

Question

Yo estoy haciendo algo de lectura de verano de Fraleigh de Un Primer Curso de Álgebra Abstracta y me encontré con este ejercicio en la Sección 10. Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema y me pregunto si puedo conseguir un poco de información de mi prueba. Tenga en cuenta que $(G:H)$ se refiere al índice de $H$$G$.

Teorema: Supongamos $H$ $K$ son subgrupos del grupo $G$ tal que $K \leq H \leq G$ y supongamos que $(H:K)$ $(G:H)$ son finitos. A continuación, $(G:K)$ es finito y $(G:K) = (G:H) (H:K)$.

Prueba: en Primer lugar, defina $\{a_iH | i = 1, 2, \cdots, r\}$ $\{b_jK | j = 1, 2, \cdots s\}$ a ser la colección de distintas izquierda cosets de H en G y K en H, respectivamente. Tenga en cuenta que debido a que (H, K) y (G:H) son finitos, sabemos que el tamaño de estos grupos son finitos y $r,s < \infty$. A continuación,$r = (G:H)$$s = (H:K)$. Tenga en cuenta que $\cup_{j=1}^s b_jK = H$, lo $\{a_iH| i = 1, 2, \cdots, r\} = \{a_i(\cup_{j=1}^s b_jK)| i = 1, 2, \cdots, r\}$. Igualmente tenemos que $\cup_{i=1}^r\left[a_i\left(\cup_{j=1}^s b_jK\right)\right] = G$. Tenga en cuenta que para cada una de las $i$, $a_i\left(\cup_{j=1}^s b_jK\right)$ es distinta a través de la asunción. Ahora supongamos que existe enteros $1\leq m < n \leq s$ tal que $a_ib_mK = a_ib_nK$. Desde $a_i \in G$ $G$ es un grupo, a través de la cancelación de grupo ley tenemos $b_mK = b_nK$. Esta es una contradicción que suponía la izquierda cosets de $K$ son distintos. Por tanto, para todos $i,j$ tenemos $a_ib_jK$ son distintos. Por lo tanto, ya que todas son distintas y $\cup_{i=1}^r\cup_{j=1}^s a_ib_jK = G$, podemos ver que $S = \{a_ib_jK | i=1,2,\cdots, r; j=1,2,\cdots, s\}$ es la colección de los distintos izquierda cosets de $K$ $G$ $(G:K) = |S|$ donde $|S| = rs = (G:H)(H:K)$. Por lo tanto $(G:K)$ es finito y $(G:K)=(G:H)(H:K)$.

Cualquier consejo se agradece, gracias!

Answer 1

En primer lugar, defina $\{a_iH|i=1,2,\ldots,r\}$ $\{b_jK|j=1,2,\ldots,s\}$ a ser la colección de distintas izquierda cosets de $H$$G$$K$$H$, respectivamente. Tenga en cuenta que desde $(H:K)$ $(G:H)$ son finitos, sabemos que el tamaño de estos grupos son finitos y $r,s<\infty$. A continuación,$r=(G:H)$$s=(H:K)$.

Creo que esto es mucho más de la garganta de compensación que usted necesita, y en función, precisamente, lo que quieres decir con la frase del medio incluso podría estar equivocado. No es cierto que si $(G:K)$ es finito las órdenes de $G$ $K$ son finitos (rápido de contra-ejemplo: $(\mathbb{Z}:2\mathbb{Z})=2$).

No sé si has llegado a citar a los grupos, pero si que lo hizo y que significaba que $\lvert G/K\rvert=(G:K)$, bien, está bien, siempre que $G/K$ existe, pero no siempre existen (rápido de contra-ejemplo: no Hay tal cosa como $S_3/S_2$).

Todo esto es irrelevante, aunque, debido a la afirmación de que $G$ $K$ son finitos podría haber sido omitidos en la prueba, y tienes derecho a iniciar con el etiquetado de los cosets de $K$$H$$H$$G$, y estipular $(G:H)=r$$(H:K)=s$.

Tenga en cuenta que $\cup^s_{j=1}b_jK=H$, lo $\{a_iH|i=1,2,⋯,r\}=\{a_i(\cup_{j=1}^sb_jK)|i=1,2,\ldots,r\}$. Igualmente tenemos que $\cup^r_{i=1}[a_i(\cup_{j=1}^sb_jK)]=G$. Tenga en cuenta que para cada una de las $i$, $a_i(\cup^s_{j=1}b_jK)$ es distinta a través de la asunción. Ahora supongamos que existe enteros $1\leq m<n\leq s$ tal que $a_ib_mK=a_ib_nK$. Desde $a_i\in G$ $G$ es un grupo, a través de la cancelación de grupo ley tenemos $b_mK=b_nK$. Esta es una contradicción que suponía la izquierda cosets de $K$ son distintos. Por tanto, para todos $i,j$ tenemos $a_ib_jK$ son distintos. Por lo tanto, ya que todas son distintas y $\cup^r_{i=1}\cup^s_{j=1}a_ib_jK=G$, podemos ver que $S=\{a_ib_jK|i=1,2,\ldots,r;j=1,2,\ldots,s\}$ es la colección de los distintos izquierda cosets de $K$ $G$ $(G:K)=\lvert S\rvert$ donde $\lvert S\rvert=rs=(G:H)(H:K)$. Por lo tanto $(G:K)$ es finito y $(G:K)=(G:H)(H:K)$.

Esto es correcto, pero como una cuestión de claridad, creo que podría beneficiarse de más palabras y menos símbolos. He aquí cómo me gustaría tener el mismo argumento:

Tome $g\in G$. Los cosets de $H$ partición $G$, por lo que sabemos $g$ es exactamente uno de ellos, llame a $a_iH$. Para poner $g\in a_iH$ otra manera, podríamos decir que hay algunos $h\in H$ satisfacción $g=a_ih$. Podemos repetir este mismo argumento con $h$ $K$ particionado $H$ conseguir $g\in a_i(b_jK)=(a_ib_j)K$. Ahora hemos puesto a cada elemento de a $G$ en exactamente uno de los cosets $\{a_ib_jK|1\leq i\leq r,1\leq j\leq s\}$. Ahora $$\lvert\{a_ib_jK|1\leq i\leq r,1\leq j\leq s\}\rvert=rs\text,$$ so $(G:K)=rs=(G:H)(H:K)$ e es finito.