Yo estoy haciendo algo de lectura de verano de Fraleigh de Un Primer Curso de Álgebra Abstracta y me encontré con este ejercicio en la Sección 10. Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema y me pregunto si puedo conseguir un poco de información de mi prueba. Tenga en cuenta que $(G:H)$ se refiere al índice de $H$$G$.
Teorema: Supongamos $H$ $K$ son subgrupos del grupo $G$ tal que $K \leq H \leq G$ y supongamos que $(H:K)$ $(G:H)$ son finitos. A continuación, $(G:K)$ es finito y $(G:K) = (G:H) (H:K)$.
Prueba: en Primer lugar, defina $\{a_iH | i = 1, 2, \cdots, r\}$ $\{b_jK | j = 1, 2, \cdots s\}$ a ser la colección de distintas izquierda cosets de H en G y K en H, respectivamente. Tenga en cuenta que debido a que (H, K) y (G:H) son finitos, sabemos que el tamaño de estos grupos son finitos y $r,s < \infty$. A continuación,$r = (G:H)$$s = (H:K)$. Tenga en cuenta que $\cup_{j=1}^s b_jK = H$, lo $\{a_iH| i = 1, 2, \cdots, r\} = \{a_i(\cup_{j=1}^s b_jK)| i = 1, 2, \cdots, r\}$. Igualmente tenemos que $\cup_{i=1}^r\left[a_i\left(\cup_{j=1}^s b_jK\right)\right] = G$. Tenga en cuenta que para cada una de las $i$, $a_i\left(\cup_{j=1}^s b_jK\right)$ es distinta a través de la asunción. Ahora supongamos que existe enteros $1\leq m < n \leq s$ tal que $a_ib_mK = a_ib_nK$. Desde $a_i \in G$ $G$ es un grupo, a través de la cancelación de grupo ley tenemos $b_mK = b_nK$. Esta es una contradicción que suponía la izquierda cosets de $K$ son distintos. Por tanto, para todos $i,j$ tenemos $a_ib_jK$ son distintos. Por lo tanto, ya que todas son distintas y $\cup_{i=1}^r\cup_{j=1}^s a_ib_jK = G$, podemos ver que $S = \{a_ib_jK | i=1,2,\cdots, r; j=1,2,\cdots, s\}$ es la colección de los distintos izquierda cosets de $K$ $G$ $(G:K) = |S|$ donde $|S| = rs = (G:H)(H:K)$. Por lo tanto $(G:K)$ es finito y $(G:K)=(G:H)(H:K)$.
Cualquier consejo se agradece, gracias!