¿Cómo sabemos que las expansiones ternarias con solo$0$ 's y$2$' s son únicas?

Question

Deje $c \in [0,1]$ y considerar uno de sus ternario expansiones $\sum_{n \ge 1} c_n / 3^n$ s.t. cada $c_n = 0$, $1$, o $2$. Este ternario de expansión no tiene por qué ser único. Por ejemplo:

$$ 0.0222222\ldots = 0.10000\ldots $$

Pero si restringimos nuestra atención a ternario expansiones de los cuales sólo contendrán $0$'s y $2$'s, parece que estas expansiones son únicos. Pero ¿cuál es la manera rigurosa para mostrar esto?

Intento: Al principio pensé que podía tallar $0,2$-ternario expansiones en los casos donde la expansión de las colas trail off en $0000\ldots$ y los casos en que la expansión de las colas trail off en $22222\ldots$. Pero luego me di cuenta de que casos como el de $020202\ldots$ son posibles. Entonces, ¿cómo sabemos que todas estas expansiones son únicos?

Answer 1

Supongamos que$\langle c_n \rangle_{n=1}^\infty$ y$\langle d_n \rangle_{n=1}^\infty$ son dos secuencias de$0$,$2$ diferentes. Luego hay un mínimo$N$ tal que$c_N \neq d_N$, y sin pérdida de generalidad, podemos suponer que$c_N = 0$ y$d_N = 2$. Para que$\sum_{n=1}^\infty c_n 3^{-n} = \sum_{n=1}^\infty d_n 3^{-n}$ debemos tener al menos ese$\sum_{n=N+1}^\infty c_n 3^{-n} \geq 2 \cdot 3^{-N}$ (para compensar la diferencia después del "% ternario"), sin embargo$N$$$\sum_{n=N+1}^\infty c_n 3^{-n} \leq \sum_{n=N+1}^\infty 2 \cdot 3^{-n} = 3^{-N}.$ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty c_n 3 ^ {- n} \ neq \ sum_ {n = 1} ^ \ infty d_n 3 ^ {- n} $.

Answer 2

Deje que$\overline{\alpha}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\alpha_n}{3^n}$ y$\overline{\beta}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\beta_n}{3^n}$ donde$\alpha_n, \beta_n\in \{0,1\}$. Si$\quad\overline{\alpha}=\overline{\beta}$ entonces$\alpha_n=\beta_n$ para$\forall n \in \mathbb{N}.$

Prueba: tenemos$$0=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(\alpha_n-\beta_n)}{3^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\gamma_n}{3^n} \qquad (*)$$ where $ \ gamma_n = \ alpha_n- \ beta_n$ and $ \ gamma_n \ in \ {0, \ pm 2 \} $.

Multiplicando ambos lados de$(*)$ a$3$ obtuvimos:$$0=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\gamma_n}{3^{n-1}}$$ $$0\leqslant|\gamma_1|\leqslant \left|\frac{\gamma_2}{3^1}\right|+\left|\frac{\gamma_3}{3^2}\right|+\left|\frac{\gamma_4}{3^3}\right|+\cdots\leqslant\frac{2}{3^1}+\frac{2}{3^2}+\cdots=1$$Hence $ | \ gamma_1 | = 0$ and $ \ gamma_1 = 0$ then $ \ alpha_1 = \ beta_1 $.

Y podemos proceder con este proceso por inducción matemática.