Una pregunta de teoría de números combinatoria (principio del casillero)

Question

Deje que$n$ sea un entero positivo tal que$n$ y$10$ son coprime. Demuestre que$n|11\cdots11$ para algunos$11\cdots11$ en la representación de base 10.

Este problema es sobre el principio de la casilla de verificación, tengo una gran dificultad en la configuración de la casilla de verificación. ¿Hay alguna regla general de los pulgares para establecerlos? gracias.

Answer 1

Siempre que vea este tipo de preguntas, tratar de encontrar las palomas primero!

Sugerencia: Considere la secuencia de $1,11,111,1111,...,\overbrace{11\cdots 11}^{n+1 \;\text{times}}$ como palomas.

Se puede concluir a partir de aquí?

Comentario: Vamos A $n \in \mathbb{N}$. Dado $n+1$ enteros $a_1,\cdots,a_{n+1}$ existe $i\neq j,$ s.t. $a_i \equiv a_j \;(\text{mod}\; n).$

La clave es escribir cada número $a_k=nq_k+r_k$ donde $0\leq r_k \leq n-1$ y observar que, desde cada una de las $r_k$ varía de $0$ $n-1$e hay $n$ posibilidades, tomando $0,1,\cdots,n-1$ como casilleros y $r_k$s como palomas, uno podría concluir que, al menos, dos palomas (es decir, al menos dos $a_k$s) comparten la misma en los casilleros (es decir, tienen el mismo resto).

Posibles siguiente ejercicio:

Mostrar que hay un poder de $n$ que termina en $0001$ base $10.$