¿Cómo puedo resolver eficazmente la ecuación $2p = q + 1$ para los números primos $p$ y $q$ ?
¿Existe un número finito de soluciones? Si la respuesta es afirmativa, cuáles son, y si no, cómo puedo encontrar rápidamente las soluciones en las que $p$ es menor que $n$ ¿ por ejemplo?
Esto no es una respuesta sino que da las soluciones para $p,q<10,000$ generado por BigZ para ANS-Forth .
2 10000 :| q p | p is_prime q is_prime and if p 2* q 1+ = else false then ; create-set cr zet.
{(2,3),(3,5),(7,13),(19,37),(31,61),(37,73),(79,157),(97,193),(139,277),(157,313),(199,397),(211,421),(229,457),(271,541),(307,613),(331,661),(337,673),(367,733),(379,757),(439,877),(499,997),(547,1093),(577,1153),(601,1201),(607,1213),(619,1237),(661,1321),(691,1381),(727,1453),(811,1621),(829,1657),(877,1753),(937,1873),(967,1933),(997,1993),(1009,2017),(1069,2137),(1171,2341),(1237,2473),(1279,2557),(1297,2593),(1399,2797),(1429,2857),(1459,2917),(1531,3061),(1609,3217),(1627,3253),(1657,3313),(1759,3517),(1867,3733),(2011,4021),(2029,4057),(2089,4177),(2131,4261),(2137,4273),(2179,4357),(2221,4441),(2281,4561),(2311,4621),(2467,4933),(2539,5077),(2551,5101),(2557,5113),(2617,5233),(2707,5413),(2719,5437),(2791,5581),(2851,5701),(3019,6037),(3037,6073),(3061,6121),(3067,6133),(3109,6217),(3169,6337),(3181,6361),(3187,6373),(3319,6637),(3331,6661),(3391,6781),(3499,6997),(3529,7057),(3607,7213),(3697,7393),(3709,7417),(3739,7477),(3769,7537),(3877,7753),(3967,7933),(4027,8053),(4051,8101),(4111,8221),(4159,8317),(4177,8353),(4231,8461),(4261,8521),(4339,8677),(4357,8713),(4447,8893),(4507,9013),(4567,9133),(4591,9181),(4621,9241),(4639,9277),(4801,9601),(4831,9661),(4861,9721),(4909,9817),(4951,9901),(4987,9973)} okDebido al comentario:
7 10000 :| q p | p 2* q 1+ = if p is_prime q is_prime and else false then ; create-set ok
:| q p | p ; transform-set zdup cartprod :| b a | a b >= ; filter-set ok
:| b a | a b - 6 mod ; transform-set zet. {0} okY para el componente q:
7 10000 :| q p | p 2* q 1+ = if p is_prime q is_prime and else false then ; create-set ok
:| q p | q ; transform-set zdup cartprod :| b a | a b >= ; filter-set ok
:| b a | a b - 6 mod ; transform-set zet. {0} ok
Parece que la diferencia entre los primos que has enumerado es siempre divisible por 6, excepto los dos primeros pares. No he comprobado todos ellos.
@usir0 La diferencia debe ser siempre divisible por $6$ . Todo primo mayor que $3$ es congruente con $\pm1$ modulo $6$ . Si $p\equiv-1\pmod6$ entonces tenemos $q=2p-1\equiv3\pmod6$ Así que $q$ no puede ser primo. Por lo tanto, $p\equiv1\pmod6$ Así que $q-p=p-1\equiv0\pmod6$ .
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No tengo más idea que la sensación de que hay un número infinito de primos con esta propiedad (escribí un pequeño script para comprobarlo y parece coincidir hasta q ~ 100000)
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@tehforsch: ¿Qué quieres decir con "estar de acuerdo"?
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OEIS/A005384
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"Se ha conjeturado que hay infinitos primos de Sophie Germain, pero esto sigue sin probarse". es.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain_prime
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@DavidG.Stork simplemente que sigue encontrando estos pares primos hasta valores grandes de q, obviamente eso no significa nada.
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Voy a señalar que me equivoqué en mi enlace. Mientras que los primos de Sophie Germain son aquellos primos $p$ tal que $2p+1$ también es primo, los primos que el OP está buscando son esos primos $p$ tal que $2p-1$ también es primo. Aun así, parecen estar estrechamente relacionados. Buscando los primeros de esta otra secuencia de primos se obtiene la entrada correcta: OEIS/A005382
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@JMoravitz Si no me he equivocado los primeros pares son (1, 1), (7, 13), (19, 37), (31, 61), (97, 193), (139, 277) ... No los encuentro en la OEIS
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@Tehforsch $1$ no es un número primo. $2\cdot 2=3+1$ , $3\cdot 2 = 5+1$ . Te falta $79$ también
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La conjetura de Dickson implica que hay infinitos.
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@JMoravitz Woops ;) Estoy cansado ... Me faltaban un montón de números en realidad ... (3, 5) (7, 13) (19, 37) (31, 61) (37, 73) (79, 157) (97, 193) oeis.org/A217199
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@tehforsch es A005382 El que enlazas excluye a los $p$ para lo cual $2p-1$ también está en la lista.
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Por curiosidad: ¿Cuáles son los pares más grandes conocidos $(p/2p-1)$ y $(p/2p+1)$ de números primos?
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La conjetura de Bunyakovsky también implica que hay infinitas soluciones para ambos tipos de pares.
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@tehforsch No olvides el par $(2/3)$
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Yo (sabiendo que la deducción de la existencia de una infinitud de primos que tengan una forma específica es un problema extremadamente difícil) te animo a que estudies (o busques referencias, ya que no sé si estaba en la literatura o tiene un buen sentido matemático ya que la mía es una simple aplicación/comparación usando a Euler-Fermat; y un enfoque similar es factible usando el teorema de Wilson-Lagrange) primero si hay infinitos enteros $n\geq 1$ que satisfaga que $k^{\phi(n)}\equiv 1\text{ mod }n$ y también $(k^{2})^{\phi(n)}\equiv 1\text{ mod }(2n-1)$ para todos los enteros $n<k<2n-1$ .