Tensor de tensión en un cubo con fuerzas de corte.

Question

Quiero calcular la tensión de la matriz en un cubo con dos caras paralelas al eje x y perpendicular al eje z (lo siento, no sé cómo puedo poner una foto en este post).

Hay dos fuerza de las distribuciones uniformes (que vamos a indicar con p) a través de dos superficies: la superior es en la dirección x, la inferior en la dirección-x.

Así que, voy a tener sólo el esfuerzo cortante, y una cizalla módulo de $\mu$ dipendence.

Suponemos uniforme tensor de tensiones en el cubo, ya que cada infinitesimal dV de medio en estático equilibrio con +pdS fuerza con la dirección x por el superior infinitesimal dV y -pdS fuerza por parte de la inferior infintesimal dV para la 3ª ley de Newton.

Recordar que el estrés a través de una superficie es $t_{ij}n{j}$ donde $n_j$ es el versor normal a la superficie, debemos escribir:

$T_{ij}n_1=0$ porque no tenemos ninguna fuerza en las superficies perpendiculares al eje de las x; por lo que la primera columna se compone de tres 0;

$T_{ij}n_2=0$ porque no tenemos ninguna fuerza en las superficies perpendiculares al eje y;por lo que la segunda columna se compone de tres 0;

$T_{ij}n_3=p n_1$, porque tenemos la fuerza de la distribución de p sobre las superficies que son perpendiculares al eje z.

$n_1$ es $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $n_2$ es $\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}$, $n_3$ es $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Por lo que la matriz de $T_{ij}$ se convierte en:

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & p\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$

Pero esto no tiene sentido, porque el estrés-tensor debe ser simmetric para la conservación del momento angular. ¿Dónde está el error?

Answer 1

Niño, el derecho tensor de tensiones similares situaciones estáticas es simétrica, de hecho. No es difícil ver por qué: el tensor de tensiones sabe acerca de la densidad de fuerzas y una asimetría que podría destruir el equilibrio. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)#Equilibrium_equations_and_symmetry_of_the_stress_tensor

El último párrafo de la sección anterior que contiene una prueba de por qué el tensor de tensiones es simétrica. Se puede decir que la parte antisimétrica actuaría como un par.

En su ejemplo, tanto en $T_{xz}$ $T_{zx}$ son iguales a la tensión de corte se denota $p$. En particular, no es cierto que $T\cdot n_x=0$, como se escribió en el primer paso (con confundir extra índices), debido a que el tensor de tensiones medidas de las fuerzas internas y no solo de las fuerzas que activamente añadir por su mano.

Las fuerzas internas respecto a la simetría entre el $x$ $z$ ejes. La única asimétrica tensor fue uno desea "prescribir" para el sistema. Pero no se puede prescribir arbitraria propiedades y el comportamiento de un sistema físico: las propiedades de los objetos y el comportamiento de obedecer las leyes de la física, en lugar de sus expectativas. En particular, las leyes de la física garantía de que el esfuerzo cortante va a tratar cualquier par de ejes de forma simétrica.

Usted debe imaginar que las plazas en un átomo de cuadrícula en la $xz$ plano se deforma para rhombi. Pero el rómbico curvatura existe relativamente a ambos ejes $x,z$. Si inserta una sonda en el sólido que se va a medir la tensión interna, asegúrese de que usted obtendrá totalmente idénticos resultados cuando se presione el $z=0$ plano en el $x$ dirección como si se presiona el $x=0$ plano en el $z$ dirección. El resultado de ambas cosas es cambiar el ángulo entre la (ex) $x=0$, $z=0$ planos del sólido. No hay ninguna diferencia.

Answer 2

El tensor de tensiones es sólo simétrica si bien la densidad de espín que describe la densidad de los internos del momento angular es cero. Para la mayoría de los materiales, este es el caso, porque no se puede alinear a la mayoría de las tiradas de los constituyentes de los átomos o moléculas en la misma dirección.

Imaginar el cubo que se menciona incrustado como un subsistema de un sistema material. Con una relación asimétrica de estrés-tensión, las fuerzas que hará que el cubo a girar en relación a la materia sobre la que está incrustado en que, para la mayoría de los materiales, será impedido por la unión molecular de las fuerzas entre las moléculas o los átomos en ambos lados de la frontera. En otras palabras, el cubo no puede girar en relación a que el material fuera de los límites. Esto es debido a que vienen impedimento debido a la unión molecular y se manifiesta como una fuerza contraria en las superficies de la normal a la $x$-dirección.

Usted también tiene que darse cuenta de este análisis de la tensión sólo se aplica en el límite como el tamaño del cubo se convierte infinitesimal. De lo contrario, podemos tener fuerzas desequilibradas en las diferentes superficies, que significa solamente la forma del cubo se deforma en el tiempo.