¿Qué tan mal puede fallar GCH?

Question

Estoy interesado en el "cuántos" cardenales podemos meter entre $\kappa$ $2^\kappa$ antes de ZFC dice "no, demasiados" como es medido por el tipo de orden.

Así que mi pregunta es (y no sé si esta bien planteado), dado un número cardinal $\kappa$, ¿cuál es el menor ordinal $\alpha$ tal que ZFC demuestra que $\mathrm{ord}[\kappa, 2^\kappa)<\alpha$? La mitad de intervalo abierto significa el conjunto de todos los números cardinales entre el$\kappa$$2^\kappa$, incluyendo a $\kappa$, pero no incluyendo $2^\kappa$, e $\mathrm{ord}$ está destinado a devolver el tipo de orden de este intervalo.

Answer 1

Tantos como quieras. No hay un límite superior. La cofinalidad de$2^\kappa$ debe exceder$\kappa$, por supuesto. Vea el teorema de Easton para los detalles con respecto a los cardenales regulares.

Answer 2

Deje $M$ ser un modelo de $\sf ZFC+GCH$, y deje $F$ ser definible función de la clase en la regular cardenales tal que

1. $\kappa<F(\kappa)$,
2. $\operatorname{cf}(\kappa)<\operatorname{cf}(F(\kappa))$,
3. $\kappa<\lambda\implies F(\kappa)\leq F(\lambda)$.

Entonces existe un modelo de $N$ $\sf ZFC$ tal que $M\subseteq N$, y tienen los mismos números ordinales y cardinales, y en $N$ es cierto que por cada $\kappa$, $2^\kappa=F(\kappa)$.

Esto significa que la continuidad de la función sólo está limitado por sus propiedades básicas, y nada más.

Así, mientras que $\sf ZFC$ demuestra que $2^\kappa$ está delimitado por algunos ordinal es completamente imposible probar que ordinales.