¿Cuáles son los grupos de homotopía del espacio de matrices con un rango mayor que$k$?

Question

Deje $H_{>k}$ ser el espacio de real $d \times d$ matrices de rango mayor que $k$, para algunos fijos $k$.

¿Cuáles son los homotopy grupos $\pi_n(H_{>k})$?

En particular, me gustaría saber si son o no de finitely generado por $n \ge 2$?

(La razón es que esta es una condición necesaria para que un colector de ser un espacio homogéneo, y me pregunto si es o no $H_{>k}$ es un espacio de este tipo.)

Answer 1

El homotopy grupos de $H_{>k}$ son finitely generado. Escribir $H_{>k} = \text{Mat}_d \setminus H_{\leq k}$.

En primer lugar, $H_{\leq k}$ es una verdadera variedad algebraica: se define por las ecuaciones polinómicas que el determinante de cada $(k+1)$-menor es cero. Por lo tanto, tiene dos importantes propiedades. En primer lugar, se admite un Whitney estratificación (en particular, se puede descomponer en un número finito de piezas, todas de las cuales son lisas colectores); en segundo lugar, la unidad de la esfera de $H_{\leq k}$ (los que vamos a denotar como $U_k$) es un compacto real algebraicas variedad (definido además por la ecuación de $x_1^2 + \cdots + x_{d^2}^2 = 1$), y por lo tanto tiene un número finito de triangulación.

Ahora la transversalidad de la teoría, aplicada a lo finito de la unión de colectores de la presentación de $H_{\leq k}$, dice que cada mapa de un colector puede ser perturbado ligeramente para hacerla transversal, y esto se puede hacer relativamente a la frontera si el límite es ya transversal. En particular, si la dimensión del colector es menor que el de codimension $H_{\leq k}$, puede ser un poco perturbado a ser distinto, a partir de este subconjunto. El cálculo de $\text{codim} H_{\leq k} = (d-k)^2$, y aplicando esto a las esferas y bolas, vemos que $$\pi_i H_{>k} = 0 \text{ for } i \leq (d-k)^2 -2.$$

El punto más importante aquí es que tan pronto como $k < d-1$, $H_{>k}$ simplemente se conecta.

Ahora vamos a calcular el cohomology de $H_{>k}$ (en un sentido). Es el complemento del uno punto compactification de $H_{\leq k}$ dentro $S^{d^2}$. Debido a $H_{\leq k}$ es el abierto de cono en $U_k$, esta en un punto de compactification puede ser identificado con el no reducido de la suspensión de $\Sigma U_k$. Real variedades algebraicas son localmente contráctiles, y las suspensiones de local contráctiles espacios localmente contráctiles, por lo $H_{\leq k} \cup \{\infty\}$ es así. Ahora podemos aplicar el Alexander teorema de dualidad para identificar $$H^{d^2-q-1}(H_{>k};\Bbb Z) \cong H_{q+1}(U_k;\Bbb Z).$$ Because $U_k$ has a finite triangulation, its homology groups are all finitely generated, and thus the same is true of the cohomology groups of $H_{>k}$. Now, as a general fact, homology groups of a space $X$ are all finitely generated iff the cohomology groups are finitely generated. One direction is a trivial application of the universal coefficient theorem, the other is proposition 3F.12 of Hatcher's algebraic topology book. Hence $H_{>k}$ tiene finitely generado homología.

Ahora simplemente se conecta el espacio con finitely generado homología de grupos ha finitely generado homotopy grupos. Este es un corolario de la Serre de Hurewicz mod $\mathcal C$ teorema, donde $\mathcal C$ es llevado a ser la clase de finitely generado abelian grupos. Esto demuestra el resultado de $k < d-1$.

Para $k = d-1$, $H_{>k}$ es, por supuesto,$GL(d)$, lo cual es una Mentira grupo, la deformación se retrae en $O(d)$, y la Mentira de los grupos se han conocido finitely generado homotopy grupos. (Alternativamente, se puede aplicar Hurewicz mod $\mathcal C$ a la universalización de la cobertura $\text{Spin}(d)$$SO(d)$, que todavía es compacto y por lo tanto tiene finitely generado homotopy grupos; el resto de casos $d = 2$ donde este argumento no se aplica es aún más trivial.)