El comportamiento de la serie de $\exp_p(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{(k!)^p}$ dependiendo $p\approx 2$?

Question

Nota:Esto es más una matemática recreativa pregunta

Considerar la serie de $\exp_p(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{(k!)^p}$ que es de alguna sistemático de la modificación de la función exponencial. Es $\exp_1(x)=\exp(x) $ si p=1. Estoy interesado en el comportamiento de $x=0\to -\infty$ dependiendo del cambio en el parámetro de $p$.

[editar] Para las parcelas, y también para la discusión de la oscilación he quitado la constante 1 de la función. Luego he editado la pregunta por la corrección. Pero después tengo algunas respuesta que mejor revertir las ediciones del título y de la fórmula y el estado que la eliminación de las parcelas y de la discusión de la oscilación sólo aquí explícitamente en su lugar. Por favor, disculpe que inconvenientes [edit 2]

Primera oberservation es, que si $p>1$ la función comienza a oscilar. Si $p=2$ la oscilación diminuishes pero para $p>2$ en general, la oscilación parece aumentar e incluso para un par de valores de $p=2 + \epsilon $, lo que he comprobado manualmente donde el (posiblemente) la eventual incremento se produce después de una disminución inicial.

Así que mis preguntas son:

1. es cierto, que en p=2 y x de $ 0\to -\infty$ la amplitud de la oscilación diminueshes a cero?
2. es cierto, que en $p=2+\epsilon, \epsilon>0$ y x de $ 0\to -\infty$ la amplitud de la oscilación finalmente aumenta sin límite?
3. ¿Cómo podría el enfoque de la pregunta, por ejemplo, teniendo en cuenta la forma de la potencia de la serie, el análisis de las competencias de la factoriales. ¿Hay alguna "piedra angular" que podría ser útil?

Este es un gráfico de $p=2$$f(x)=\exp_2(-(x^2)) -1 $. He utilizado la cuadratura de la x para ver más de la oscilación. El -1 es localizar la oscilación alrededor del eje x.

Este es un gráfico de $p=2.02$$f(x)=\exp_{2.02}(-x^2) -1 $. De nuevo he utilizado la cuadratura de la x para ver más de la oscilación. Más grande epsilons dejar que la oscilación aumentar en un x más cerca de la vertical $x=0$-line.

Answer 1

Para p = 2, $exp_2(x) = J_0(2 \sqrt{x})$ donde $J_0$ es una función de Bessel. El asymptotics de este son conocidos: como $x \to -\infty$, $exp_2(x) = \frac {\sin \left( 2\,\sqrt {x}+1/4\,\pi \right) }{\sqrt {\pi }\, x^{1/4}} + O(x^{-3/4})$.