dada la serie$ \sum_{\rho} \frac{1}{z-\rho} $ aquí, la suma se toma SOBRE las raíces de la función de Riemann en la línea crítica$ 0 < Re(s) <1 $
la suma se entiende como sumamos el par de ceros$ f( \rho) +f(1-\rho ) $ así que$ Re (\rho) > 0 $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted puede comenzar con el producto de Hadamard: $$ \zeta(s)=\frac{e^{s\left(\log(2\pi)-1-\frac{\gamma}2\right)}}{2(s-1)\Gamma\left(1+\frac s2\right)}\prod_{\rho} \left(1-\frac s{\rho}\right) e^{s/{\rho}} $$ o utilizar la de Riemann Xi de la función$\xi(s)=\frac 12 s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac s2\right)\zeta(s)$ a reescribir esto como un $$\xi(s)=\xi(0)\prod_{\rho} 1-\frac s{\rho}$$
de modo que $\displaystyle \dfrac{\xi'(s)}{\xi(s)} = \sum^\prime_{\rho} \left(\ln\left(1-\frac s{\rho}\right)\right)' = \sum^\prime_{\rho} \frac 1{s-\rho}$
al menos si yo me cansaría de hacer un error estúpido... ("por encima de la suma en el sentido de su convenio de sumación)
Usted también puede encontrar la siguiente derivación interesante: $$\xi(s)=\xi(0)e^{B s}\prod_{\rho} \left(1-\frac s{\rho}\right) e^{s/{\rho}}$$ con $B=\log 2+\frac 12 \log\pi-1-\frac{\gamma}2$ $\rho$ la no-trivial de ceros.
de modo que $\displaystyle \dfrac{\xi'(s)}{\xi(s)} = B+\sum_{\rho} \left(\ln\left(1-\frac s{\rho}\right)e^{s/{\rho}}\right)' = B+ \sum^\prime_{\rho} \frac 1{s-\rho} + \frac 1{\rho}$
No hay ninguna contradicción gracias a $\displaystyle B=-\sum^\prime_{\rho} \frac 1{\rho}=-\sum_{\Im(\rho)>0} \frac 1{\rho(1-\rho)}$
Para más información, véase Edwards libro,
Coffey la 'Hacia la verificación de la hipótesis de Riemann: la Aplicación de la batería de Li criterio"
el MO artículo 'Es la suma de los recíprocos de zeta ceros correcto?'
y Lagarias' papel 'de La Hipótesis de Riemann: la Aritmética y la
Geometría'
