Demostrar que .

Question

Si el círculo $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ y la línea de $y=mx+c$ no cumplen con: Demostrar que $m^2(r^2-a^2)+2am(b-c)+2bc-b^2-c^2+r^2<0$

Estos son los pasos que he tomado (a pesar de que puede estar equivocado/inútil):

1. Reorganizado el círculo de la ecuación para y: $y=\sqrt{r^2-x^2+2ax-a^2}+b$

2. Establecer el círculo y la línea de ecuaciones iguales el uno al otro como en ecuaciones simultáneas.

Yo era entonces de planificación en la búsqueda de algunos discriminante y como sabemos que la recta y el círculo no cumplen podía establecer el discriminante < 0, y mostrar que es el mismo que el largo de la desigualdad.

Soluciones/punteros apreciado como no puedo parecer para trabajar este problema.

Answer 1

El círculo y la línea no se juntan si la distancia$d$ del centro del círculo a la línea es mayor que el radio del círculo.

Sabiendo que la distancia de un punto$(x_0,y_0)$ a una línea$ax+by+c=0$ es$$\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $

Obtiene el resultado al cuadrar la fórmula anterior (y reemplazarla con las variables apropiadas)$$\frac{(ma-b+c)^2}{m^2+1}>r^2$ $ y reordenar los términos.

Answer 2

Sustituya la ecuación de la línea en la ecuación del círculo \begin{eqnarray*} (x-a)^2+(mx+c-b)^2= r^2 \\ (m^2+1)x^2 -2x(a+m(b-c))+a^2+(c-b)^2-r^2=0. \end {eqnarray *} Esta es una acción cuadrática en$x$ y para que no existan soluciones, requerimos que el discriminante sea negativo, por lo que \begin{eqnarray*} (a+m(b-c))^2-(m^2+1)(a^2+(c-b)^2-r^2) < 0 \end {eqnarray *} Ahora reorganiza un poco para obtener tu desigualdad.

Answer 3

Reescriba la ecuación del círculo que se suscribe para$y=mx+c$: \begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2&=x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2\\ &=x^2-2ax+a^2+(mx+c)^2-2b(mx+c)+b^2\\ &=x^2-2ax+a^2+m^2x^2+2mcx+c^2-2bmx-2bc+b^2\\ &=(m^2+1)x^2+2(m(c-b)-a)x+(a^2+b^2+c^2-2bc)=r^2\\ \end {align *} Por lo tanto, resuelva$$(m^2+1)x^2+2(m(c-b)-a)x+(a^2+b^2+c^2-2bc-r^2)=0$ $ dando$$x=\frac{-2(m(c-b)-a)\pm\sqrt{4(m(c-b)-a)^2-4(m^2+1)(a^2+b^2+c^2-2bc-r^2)}}{2(m^2+1)}$ $ Así que requerimos$$(m(c-b)-a)^2-(m^2+1)(a^2+b^2+c^2-2bc-r^2)<0$ $ lo que simplifica como$$ m^2(r^2- a^2 ) + 2 a m(b -c) + 2 bc-b^2 - c^2+r^2 <0$ $

Answer 4

La línea es outide el círculo hance poner la línea de la ecuación dentro de la fórmula para el círculo es más grande, a continuación, $r^2$ por lo tanto $$ (x - a)^2 + (mx + c - b)^2 > r^2 $$ l.h.s is minimized for $2(x-a) + 2m(mx + c - b) = 0$ or for $x = (m(b - c) + a)/(m^2+1))$. let $f=m^2+1$, entonces la expresión se reduce al mínimo $$ (m(b - c) + a - af)^2 + (m(m(b - c) + a) + cf - bf)^2 > f^2r^2 $$ o $$ (m(b - c) - m^2a^2 + (ma + c - b)^2 > f^2r^2. $ $ , Que es $$ f(ma + c - b)^2 > f^2r^2 $$ $$ (ma + c - b)^2 > fr^2 = (m^2 + 1)r^2 $$ Y reorganizado da la fórmula de arriba.