Una consecuencia (probablemente trivial) del teorema de Dirichlet

Question

Teorema de Dirichlet dice que para dos coprimo positivo números enteros $a$ y $d$ , la progresión aritmética $a,a+d,a+2d,a+3d,\ldots$ contiene infinitos números primos. En otras palabras, hay infinitos números primos de la forma $a+nd$ .

¿Qué se puede decir si $a$ es negativo (y $d$ sigue siendo positivo)?

En particular, si $a=-1$ (para la que parece saberse que la respuesta es positiva, a saber, que existen infinitos números primos de la forma $-1+nd$ ).

$a$ y $d$ se siguen suponiendo coprimos, ya que de lo contrario no hay posibilidad de obtener primos de la forma $a+nd$ porque lo hemos hecho: $a+nd= \gcd(a,d)\tilde{a}+n\gcd(a,d)\tilde{d}=\gcd(a,d)(\tilde{a}+n\tilde{d})$ observe que esto demuestra que hay infinitos primos $P$ tal que $a+nd$ es igual a $\gcd(a,d)P$ .

¡Muchas gracias!

Edita: Robin Chapman menciona el caso $a=-1$ en esta pregunta pero no hay ninguna explicación, sólo una referencia.

Answer 1

Si $a$ es negativo, se puede escribir $a+nd = (a+kd)+(n-k)d$ donde $kd>-a$ que da un enunciado equivalente con enteros positivos. En otras palabras, el signo de $a$ no tiene importancia. $d$ tiene que ser positivo para que haya infinitos términos positivos en la secuencia en primer lugar.

Answer 2

Consideremos la progresión aritmética $$x_n = -100 + 3n$$ Nota $n \leq 33 \implies x_n < 0 \implies x_n \not\in \mathbb{P}$

Pero en $n = 34, x_n = 2$ . Una subsecuencia $y$ de $x$ puede definirse como:

$$\forall n\in \mathbb{Z}^*, y_n = 2 + 3n = x_{n+34}$$

Así que $y_n$ contiene un número infinito de primos (por Dirichlet), por lo tanto también lo contiene $x_n$

Consideremos ahora el caso general:

$$\forall a \in \mathbb{Z}^-, d \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{Z}^*,$$ \begin{align} \text{Let } s_n &= a + nd\\ \exists a' \in \mathbb{N} \text{ s.t. } a &= -a'\text{ (existence of additive inverse)}\\ \exists i \in \mathbb{N} \text{ s.t. } i &> a' \text{ (infinitude of the natural numbers)}\\ id &\geq i > a' \text{ (looser than necessary for simplicity)}\\ t_n &= s_{n+i} = (a+id) + nd\\ &\text{with }t_n\text{ of the required form }\square\\ \end{align}