Necesita la aclaración de este de l'Hospital de la regla de solución

Question

He encontrado una solución a este límite a través de l'hoptital la regla, pero no me da el tercer paso. $$\eqalign{ \lim_{x\to\infty} {\ln3x}-{\ln(x+1)} &= \lim_{x\to\infty} \ln\frac{3x}{x+1} \\ &=\lim_{x\to\infty} \ln\frac{3}{1+1/x}\\ &=\ln3\\}$$

No estoy seguro de cómo lo que pasó para llegar a la tercera línea. Puede usted explicar?

Answer 1

Divide el numerador y el denominador por $x$ (que dejan la fracción $\frac{3x}{x+1}$ sin cambios)

Answer 2

Sin la Regla de L'Hospital

Primera nota de que $$ \frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}\quad\forall (a,b,c)\in\mathbb{R}:bc\ne 0$$ Desde $x\to\infty$, claramente $x\gt 0$, así que vamos a $c=\frac{1}{x}$ $$ \lim_{x\to\infty} \ln\left(\frac{3x}{x+1}\right) = \ln\left(\lim_{x\to\infty} \frac{3x}{x+1}\right)= \ln\left(\lim_{x\to\infty} \frac{3}{1+\frac{1}{x}}\right)= \ln\left(\frac{3}{1+0}\right)=\ln(3) $$ Con la Regla de L'Hospital

Yo no recomendaría L'Hospital de la regla de este límite, sin embargo aquí es $$ \lim_{x\to\infty} \ln\left(\frac{3x}{x+1}\right) = \ln\left(\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{d}{dx}[3x]}{\frac{d}{dx}[x+1]}\right)= \ln\left(\lim_{x\to\infty} \frac{3}{1+0}\right)= \ln\left(\frac{3}{1+0}\right)=\ln(3) $$

Answer 3

$$\frac{3x}{x+1}=\frac{3\cdot x}{(1+\frac{1}{x})\cdot x}=\frac{3}{1+\frac{1}{x}}\cdot\frac{\not x}{\not x}=\frac{3}{1+\frac{1}{x}}$$

Answer 4

Si usted está diciendo que el único problema está en el paso 3, es una respuesta corta:

Se establece que el límite de f(x)= 1/x cuando x tiende a infinito positivo, es 0. Por lo tanto, el resultado es el registro de 3/(1+0) = 3/1, o, simplemente, ln 3.